Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodos multipaso
por lo que si λ =0, tenemos el método
yi+1 = yi + h 5
12 f(ti + h, yi+1)+h 2
3 f(ti, yi) − h 1
12 f(ti − h, yi−1).
El método implícito tiene la desventaja de que el valor de yi+1 ha de obtenerse a partir de la
solución aproximada de una ecuación algebraica, cosa que no ocurre con el método explícito. Este
último no permite obtener aproximaciones de tanto orden como el implícito. Por ejemplo, el método
de dos pasos explícito no puede tener orden 4, ya que debería cumplir, además de las ecuaciones
anteriores, la ecuación adicional
a1 − 4b1 =1,
y dado que el determinante ¯ ¯¯¯¯¯
1 −2 1
−1 3 1
1 −4 1
¯ =4,
el sistema dado por ⎧
⎨ a1 − 2b1 =1,
−a1 +3b1 =1,
⎩
a1 − 4b1 =1,
no tiene solución. Sin embargo, si planteamos el mismo sistema para el método implícito, hemos de
añadir la ecuación
a1 +4b−1 − 4b1 =1,
y ahora el determinate ¯ ¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 1 0 0 0
0 −1 1 1 1
0 1 2 0 −2
0 −1 3 0 3
0 1 4 0 −4
¯ = −12,
¯
por lo que el sistema lineal anterior es compatible determinado y tiene un solución única que será
el único método de orden 4 y paso 2. Si intentáramos conseguir orden 5, tendríamos que añadir la
ecuación
−a1 +5b−1 +5b1 =1,
y tomando las últimas 4 ecuaciones, el determinante de la matriz ampliada sería
¯
1 2 −2 1
−1 3 3 1
1 4 −4 1
−1 5 5 1
¯ = −8,
¯
por lo que el sistema será incompatible y no habrá solución del mismo. Así pues, los métodos de dos
pasos pueden tener a lo sumo orden 3 si es explícito y orden 4 si es implícito.
Ahora bien, si consideramos el problema
½
0 y = y,
y(0) = 1,
50