Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodosdeunpaso
Como vemos, estas soluciones dependientes de dos parámetros son válidas siempre que c2 /∈ {0, 1/2, 1},
c3 /∈ {0, 1} y c2 6= c3. Cuando alguna de estas condiciones no se satisfacen, existen no obstante métodos
de Runge—Kutta con estos coeficientes.
Estos métodos son de orden 4 (orden 5 tiene el error local de truncamiento) y representan una
familia de cinco parámetros de métodos cuyos ejemplos son
y sobre todo, que cumple c2 = c3,
0 1
3
2
3
1
3
1 − 3
1 1
1
−1 1
0 1
1
8
2
1
2
1
2
0 1
2
3
8
1 0 0 1
1
6
1
3
que es el método debido a Kutta de 1905 y que usualmente se conoce como el método de Runge—
Kutta.
2.6.3 Métodos de más etapas
En general, se conoce que un método de Runge—Kutta de m etapas tiene a lo sumo orden m. De
hecho, se tiene la siguiente tabla para los órdenes en función de las etapas
Etapas 1 2 3 4 5 6 7 8
Orden 1 2 3 4 4 5 6 6
es decir, a partir de 5 etapas no aumenta el orden global del método. ¿Por qué entonces se construyen
métodos de más de 5 etapas? La razón es meramente computacional, ya que los errores debidos al
redondeo aumentan con el número de pasos. Para fijar ideas, supongamos que el error global de un
método es
e = Ch p ,
donde p es el orden. Tomando logaritmos tenemos que
1
3
3
8
1
6
1
8
log e =logC + p log h,
y suponiendo que el tamaño del paso h =(tf − t0)/n se tiene
siendo
log e = logC + p log tf − t0
n
= logC + p log(tf − t0) − p log n
= B − p log n,
B =logC + p log(tf − t0).
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