Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Métodosdeunpaso
Obsérvese que son similares a los obtenidos en el método de Taylor de segundo orden. Si variamos
el tamaño de paso, obtenemos los siguientes errores para los siguientes valores
h =1 h =0.1 h =0.01 h =0.001 h =0.0001 h =0.00001
0.2183 0.0042 0.000045 4.5 · 10 −7 4.5 · 10 −9 4.5 · 10 −11
que reproducen los obtenidos en el método de Taylor anteriormente mencionado.
La forma más general posible para un método de Runge—Kutta de orden dos es
⎧
⎨
⎩
g1 = hf(ti−1, yi−1),
g2 = hf(ti−1 + c2h, yi−1 + a21g1),
yi = yi−1 + b1g1 + b2g2,
donde los tiempos ti−1 no tienen porqué ser uniformemente distribuidos, y b2 6= 0. Si tomamos
g2(h)/h y desarrollamos mediante la serie de Taylordeprimerordenobtenemos
por lo que
g2(h) = g2(0) + hg 0 2(0) + O(h)
µ
∂f
= f(ti−1, yi−1)+h c2
∂t (ti−1,
∂f
yi−1)+a21
yi = yi−1 + b1g1 + b2g2
= yi−1 +(b1 + b2)hf(ti−1, yi−1)+b2h 2
µ
c2
∂y (ti−1, yi−1)f(ti−1, yi−1)
∂f
∂t (ti−1,
∂f
yi−1)+a21
+ O(h),
∂y (ti−1, yi−1)f(ti−1, yi−1)
Por otra parte, la aproximación mediante la serie de Taylor de orden dos de y(t; ti−1, yi−1) era
yi = yi−1 + f(ti−1, yi−1)h + 1
µ
∂
2 ∂t f(ti−1, yi−1)+f(ti−1, yi−1) ∂
∂y f(ti−1,
yi−1) h 2 ,
e igualando coeficientes obtenemos que
⎧
⎨
⎩
b1 + b2 =1,
b2c2 =1/2,
b2a21 =1/2.
Como b2 6= 0, tenemos que a21 = c2 = 1
2b2 y b1 =1− b2, lo cual nos proporciona una familia de
métodos de Runge—Kutta de orden dos según los valores de b2. Así,cuandob2 =1/2, obtenemos el
método de Heun anteriormente descrito. Cuando b2 =1, tenemos
½ g1 = hf(ti−1, yi−1),
e
g2 = hf(ti−1 + h
2 , yi−1 + 1
2 g1),
yi = yi−1 + hg2 = yi−1 + hf(ti−1 + h
2 , yi−1 + 1
2 g1)
= yi−1 + hf(ti−1 + h
2 , yi−1 + h
2 f(ti−1, yi−1)),
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