Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

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<strong>Métodos</strong>deunpaso que como sabemos, tiene por solución y(t;0, 1) = et .Tomemost1 =0.1, y estimemos por el método de Euler y(0.1; 0, 1). Comoh =0.1, entonces y1 = y0 + y0h =1+0.1 =1.1. Como vemos, el error cometido e1 = |y(0.1; 0, 1) − y1| = |e 0.1 − 1.1| ≈ 0.00517092. Si ahora, tomamos t1 =1, entonces h =1e y1 = y0 + y0h =1+1=2, y el error e1 = |y(1; 0, 1) − y1| = |e − 2| ≈ 0.718282, esto es, el error aumenta considerablemente. Esto se debe a que estamos tomando aproximaciones locales. Para reducir el error se procede de la siguiente manera. Tomamos una partición P del intervalo [t0,tf], esto es P = t0
y ahora los errores son ei = |e i∗0.1 − yi|, para i =1, ..., 10, que nos da la siguiente tabla aproximada e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 0.005 0.011 0.019 0.028 0.038 0.051 0.065 0.082 0.102 0.125 <strong>Métodos</strong>deunpaso Como vemos, el error ha disminuido notablemente, a pesar de que en los pasos intermedios la aproximación del método de Euler no coincide en su condición inicial con la solución del problema de condiciones original. Vemos no obstante que los errores se van acumulando desde e1 hasta e10, demanera que estos van creciendo. Sin embargo, si disminuimos el tamaño de paso, vemos en la siguiente tabla como los errores al final dismuyen h =1 h =0.1 h =0.01 h =0.001 h =0.0001 h =0.00001 0.718 0.125 0.013 0.001 0.00014 0.000014 Como vemos, al dividir el tamaño de paso h por diez, el error final aproximadamente también hace esta operación. Veremos posteriormente una explicación a este hecho. 2.2.2 Método de Taylor de orden 2 Si hacemos n =2, observamos que el método de Taylor queda de la siguiente forma: y(t1; t0, y0) ≈ y1 = y0 + 1 1! f1(t0, y0)h + 1 2! f2(t0, y0)h 2 , ydadoque f1(t0, y0) =f(t0, y0) y f2(t0, y0) = ∂ ∂t f(t0, y0)+f(t0, y0) ∂ ∂y f(t0, y0), se puede reescribir como y(t1; t0, y0) ≈ y1 = y0 + f(t0, y0)h + 1 µ ∂ 2 ∂t f(t0, y0)+f(t0, y0) ∂ ∂y f(t0, y0) h 2 . Si dividimos el intervalo [t0,tf] en n intervalos igualmente espaciados siendo el tamaño de paso h =(tf − t0)/n, elvalory(tf; t0, y0) con yn, que puede estimarse con la recurrencia yi = yi−1 + f(t0 +(i − 1)h, yi−1)h + 1 2 µ ∂ ∂t f(t0 +(i − 1)h, yi−1)+f(t0 +(i − 1)h, yi−1) ∂ ∂y f(t0 +(i − 1)h, yi−1) para i =1, ..., n. Si consideramos el problema de condiciones iniciales anterior ½ y 0 = y, y(0) = 1, 27 h 2 ,
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