Métodos numericos: ecuaciones diferenciales ordinarias

Introducción a las ecuaciones diferenciales
una familia de curvas en el plano dependiente del valor o parámetro de c. Recíprocamente, a partir
de una familia n—paramétrica de curvas definida por (1.4) puede construirse una ecuación diferencial
de la manera siguiente. Derivando n veces (1.4) respecto de x obtenemos n+1 ecuaciones de las que,
eliminando los parámetros c1,c2, ..., cn, obtendremos una ecuación diferencial de orden n dada por
(1.3). Las soluciones obtenidas como familia n—paramétrica de curvas se llaman soluciones generales
de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si consideramos la familia de las curvas del plano dependiente
de dos parámetros dada por la ecuación y = c1ex +c2e−x , c1,c2 ∈ R, derivando implícitamente respecto
de x tenemos que
y 0 = c1e x − c2e −x ,
y 00 = c1e x + c2e −x .
Despejando c1 y c2 y sustituyendo en la primera ecuación tenemos que y 00 = y es la ecuación diferencial
que define a la familia de curva anteriores. Nótese que es una ecuación de orden dos dado que la
familia depende de dos parámetros.
Sin embargo, no siempre las ecuaciones diferenciales de orden n presentan una solución general
que se expresa mediante familias n—paramétricas. Por ejemplo, la ecuación y 2 +(y 0 ) 2 = −1 no posee
ninguna solución, mientras que y 2 +(y 0 ) 2 =0tiene como única solución y(x) =0, que no depende de
parámetro alguno. Además la ecuación de orden uno (y 0 − y)(y 0 − 2y) =0tiene por soluciones a las
funciones dadas por la expresión (y − c1e t )(y − c2e 2t )=0. Mención aparte merecen aquellas que no
aparecen comprendidas en la familia n—paramétrica, las llamadas soluciones singulares. Por ejemplo
y 0 = −2y 3/2 tiene como solución general y(x) =1/(t + c) 2 y como solución singular y(x) =0. Nótese
que esta definición es ambigua y depende de la familia de curvas al ser y(x) =C 2 /(Cx +1) 2 una
familia uniparamétrica de soluciones de y 0 = −2y 3/2 conteniendo la solución nula.
De acuerdo con lo visto anteriormente, las soluciones de las ecuaciones diferenciales vienen dadas
por una familia n—paramétrica de curvas y por lo tanto la solución no es en general única. Para
evitar este hecho, suele acompañarse a una ecuación diferencial
F (x, y, y 0 , ..., y n) )=0
de n condiciones iniciales de la forma y(x0) =y0, y0 (x0) =y0 0,...,yn−1) (x0) =y n−1)
0 donde las constantes
x0,y0,y0 0, ..., y n−1)
0 son números reales, de manera que encontremos la solución de la ecuación
diferencial satisfaga adicionalmente estas condiciones. Se define un problema de condiciones iniciales
odeCauchyal problema de la forma ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
F (x, y, y 0 ,...,y n) )=0;
y(x0) =y0;
y 0 (x0) =y 0 0;
.
y n−1) (x0) =y n−1)
0
Lo que se espera añadiendo estas condiciones es eliminar los parámetros de la familia n—paramétrica
de soluciones, obteniendo entonces una solución que sea única. Nótese que se añaden tantas condiciones
iniciales como orden tiene la ecuación. Por ejemplo, tomemos la ecuación de orden uno (1.2), que
recordemos, tenía por solución y :(−π/2, π/2) → R dada por y(x) = c
arbitraria. Si consideramos el problema de condiciones iniciales
½ y 0 − y tan x =0
y(0) = 1,
5
.
cos x
, donde c es una constante