CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Z
Soit ν(n) = νI ′(J ′n )
J n ⊂ J ′n ∩ A ⊂ I ′ν(n) ∩ A ⊂ I ν(n)−n0
νI(J n )
n
≥
ν(n) − n0
n
et ¯νI(J) ≥ ¯ν ′ I (J ′ ) .
0.2.11. Notations. — Soient A un anneau, I un idéal ne contenant pas 1.
¯νI la fonction d’ordre correspondante. On note gr IA l’anneau gradué obtenu par
la construction de 0.1.7.
Soit x un élément de A tel que ¯νI(x) ∈ R0. On note inIx (ou inx
lorsqu’aucune confusion n’est possible) l’image canonique de x dans la composante
homogène de degré ¯νI(x) de gr I A. C’est un élément non nul.
Soit J un idéal de A non inclus dans A∞ = {x ∈ A ¯νI(x) = ∞}. On
note inI(J, A) l’idéal de gr I A engendré par les inIx pour x parcourant I tels que
¯νI(x) ∈ R0.
0.2.12. Remarques. — gr IA est un anneau réduit. Il existe un homomorphisme
canonique (d’algèbres graduées)
τ : gr I A −→ gr IA
dont le noyau est le nilradical de gr I A. C’est un isomorphisme si et seulement si
gr I A est un anneau réduit.
Il suffit de remarquer que tout élément homogène non nul de gr IA est de
la forme inIx et que (inIx) k = inI · x k = 0 car ¯νI(x k ) = k¯νI(x). De même tout
élément homogène non nul de gr I A est de la forme inI x et τ(inI x) = inIx ou 0
selon que ¯νI(x) = νI(x) ou ¯νI(x) > νI(x). Cette dernière condition signifie qu’il
existe k tel que νI(x k ) > k¯νI(x) ou encore (inI x) k = 0. Si maintenant gr I A est
réduit, on a toujours ¯νI(x) = νI(x).
0.2.13. — Soient A un anneau, I, J des idéaux tels que 1 /∈ I +J. La suite
0 −→ inI(J, A) −→ grIA α
−→ grI/JA/J est exacte. (On prendra garde à ne pas ajouter un 0 à droite).
Démonstration. — Soit H = inIx un élément homogène non nul de degré
¯ν de gr IA. H ∈ kerα si et seulement si ¯ν I/J(xmod J) > ¯ν. Ceci se produit encore
si et seulement s’il existe k ∈ N tel que
ν I/J(x k mod J) > k¯ν
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