CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Démonstration. — Soient U un ouvert de X, et f ∈ Γ(U, Ip/q ). Pour tout
x ∈ U, ¯ν x p
I (f) ≥ q , i.e. , ¯νIx(f · OX,x) ≥ p
q , ce qui d’après (2.1) entraîne que pour
tout x ′ ∈ π−1 (U), on a fq · OX ′ ,x ′ ⊂ Ip · OX ′ p
,x ′, d’où : ¯νx′ I·O (f · OX ′) ≥
X ′ q pour
tout x ′ ∈ π −1 (U). Donc
ce qui montre
f · O X ′ |U ⊂ (I · O X ′ |U) p/q ,
I p/q ⊂ π∗(I · OX ′)p/q ∩ OX.
Réciproquement si f ∈ Γ(U, OX) est tel que f · O X ′ |U ⊂ (I · O X ′ |U) p/q , on a (2.1)
f q · O X ′ |U ⊂ (I · O X ′ |U) p = (I · O X ′ |U) p
puisque I · OX ′ est un idéal inversible d’un espace normal. Donc
f q · O X ′ |U ⊂ I p · O X ′ |U
ce qui, toujours d’après (2.1), signifie que pour tout x ∈ U
f q · OX,x ⊂ I p · OX,x ,
i.e. , ¯ν x p
I (f) ≥ q , ∀x ∈ U et donc f ∈ Γ(U, Ip/q ). QED pour le lemme.
4.2.6. Corollaire. — Soient X un espace analytique réduit et I un
OX-idéal cohérent définissant un sous-espace rare dans X. Le OX-idéal Ip/q est
cohérent, et son germe (Ip/q )x en un point x ∈ X est I p/q
x = {f ∈ OX,x/¯νIx(f) ≥
p/q}.
Démonstration. — D’après 4.2.3.2, (I · OX ′)p/q est un OX ′-idéal cohérent ;
puisque π : X ′ → X, éclatement normalisé de I, est propre, π∗(I · OX ′)p/q est un
sous-OX-module cohérent du OX-module cohérent π∗OX ′, donc Ip/q , intersection
de deux sous-OX-modules cohérents d’un OX-module cohérent, est cohérent.
4.3. L’algèbre graduée P 1/q (I).
4.3.0. Définition. — Soient X un espace analytique complexe réduit, I
un OX-idéal cohérent et q un entier positif. On appelle algèbre des 1
q-puissances de I la OX-algèbre
P 1/q (I) = ⊕ ∞ p=0 Ip/q · T p/q ⊂ OX[T 1/q ]
où OX[T 1/q ] désigne la OX-algèbre OX[T, U]/(T − U q ).
4.3.1. Proposition. — Pour tout entier positif q, la OX-algèbre graduée
P 1/q (I) est de présentation finie.
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