CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

ou encore x k = y + z où νI(y) > k¯ν et z ∈ J. Or,
et
¯νI(x k ) = k¯ν, ¯νI(y) > k¯ν; ¯νI(z) = k¯ν
inIx k = (inIx) k = inIz ∈ inI(J, A) .
Références
[1] Bourbaki n. — Algèbre commutative, chapitres 3 et 4, Hermann.
1. La notion de clôture intégrale d’un idéal
Dans tout ce paragraphe, A est un anneau commutatif et unitaire et I un
idéal propre.
1.1. Définition. — On dit qu’un élément f ∈ A est entier sur I (ou
satisfait une relation de dépendance intégrale) s’il existe une relation :
(1.1.1) f k + a1f k−1 + · · · + ak = 0
où ai ∈ A et νI(ai) ≥ i, i.e. , ai ∈ I i pour i = 1 · · ·k.
1.2. Notation. — Soit A[T] l’anneau de polynôme à une indéterminée T
sur A. On note P(I) le sous-anneau ⊕ I
n∈N
nT n de A[T].
Le lemme suivant relie la notion de dépendance intégrale sur un idéal, avec
la notion classique de dépendance intégrale sur un anneau.
1.3. Lemme. — L’élément f est entier sur I si et seulement si fT est
entier sur l’anneau P(I) au sens usuel ([4], Vol.1, chap. V).
Démonstration. — Soit f k + a1f k−1 + · · · + ak = 0, ai ∈ I i , une relation
de dépendance intégrale de f sur I. Alors :
(fT) k + (a1T)(fT) k−1 + · · · + (akT k ) = 0
est une relation de dépendance intégrale de fT sur P(I).
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