CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

4.2. Définition des I p/q .
4.2.1. Définition. — Soient X un espace analytique complexe réduit, I
un OX-idéal cohérent tel que suppOX/I soit rare. Pour tout ouvert U ⊂ X on
définit :
¯ν U I : Γ(U, OX) −→ R
par
¯ν U x
I (f) = inf ¯ν Ix (f)
x∈U
.
4.2.2. Définition (hypothèses et notations de 4.2.1). — Soit ν ∈ R+.
Considérons le faisceau :
U ↦−→ f ∈ Γ(U, OX)/¯ν U I (f) ≥ ν .
Puisque clairement si U ′ ′
U ⊂ U, on a ¯ν I (f|U ′ ) ≥ ¯ν U I (f), ce faisceau est un idéal
de OX, que nous noterons Iν , et dont le germe en x ∈ X est (Iν )x = {f ∈
OX,x/¯νIx(f) ≥ ν} et plus généralement, pour tout compact K, l’anneau des sections
sur K est
Γ(K, Iν ) = {f ∈ Γ(K, OX), ¯ν K I (f) ≥ ν} .
4.2.3. Proposition (hypothèses et notations de 4.2.1). — Pour tout
nombre rationnel positif p
q , l’idéal Ip/q de OX est cohérent.
Démonstration. — 1ère étape. Vérifier le résultat quand X est normal et
I inversible.
Soit X =
Vk un recouvrement ouvert tel que pour tout k,
K
I|Vk = ϕk · O X|Vk , ϕk ∈ Γ(Vk, OX) .
Considérons, pour chaque k, le morphisme πk : V q
k → Vk défini comme
composé V q n
k → V q ωk
k −→ Vk où n est la normalisation, et ωk le morphisme structural
SpecanVk Bk −→ Vk, où Bk désigne la OVk-algèbre finie OVk [T]/(T q − ϕk). Nous
disposons de l’idéal inversible Jk sur V q
k engendré par (t◦n)O V q,
où t ∈ Γ(V
k
q
k , OV q
k )
est l’image de T.
¯ν U I
4.2.3.1. Lemme. — Ip/q |Vk=πk∗(J p
k )∩OX |Vk (intersection dans πk∗O q).
V
Démonstration. — Soient U un ouvert de Vk, et f ∈ Γ(U, OX). Supposons
p
(f) ≥ q . Alors, puisque I est supposé inversible, et que X est normal, d’après
2.1, on a l’inclusion f q · O X|U ⊂ I p O X|U et a fortiori f q · O V q
k |U ⊂ Ip · O V q
k |U.
35
k