CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

et l’on pose : mα = +∞ si f ◦ π s’annule identiquement au voisinage d’un point
de Vα, c’est-à-dire en fait si Dα est contenu dans une composante irréductible de
X ′ |U qui est contenue dans Zf.
4.1.4. — Puisque Dα est irréductible, Uα est connexe, et puisque les entiers
mα et eα que nous venons de définir sont clairement localement constants sur
Uα, ils sont en fait indépendants du choix de x ′ ∈ Uα.
4.1.5. Remarque. — Pour tout α ∈ A(U), l’application vα : Γ(U, OX) →
N ∪ {+∞} définie par vα(f) = mα satisfait :
01) vα(f + g) ≥ min vα(f), vα(g)
02) vα(f · g) = vα(f) + vα(g)
vα est donc une fonction d’ordre.
On définit comme d’habitude vα(I) par un idéal I de Γ(U, OX) par vα(I) =
inf
f∈I vα(f), et l’on a alors :
eα = vα Γ(U, I) .
4.1.6. Théorème. — Soient X un espace analytique complexe réduit, I
un OX-idéal cohérent tel que suppOX/I soit rare dans X, et K un sous-ensemble
compact de X.
Il existe un voisinage ouvert U de K dans X tel que :
1) L’ensemble A(U) des composantes irréductibles du diviseur exceptionnel
de l’éclatement normalisé π|U : X ′ |U → X|U de I est fini.
2) Pour tout f ∈ Γ(K, OX), il existe un voisinage ouvert U de K dans X
contenu dans U et un prolongement ˜ f de f à U tel que :
¯ν K I
(f) = min
α∈A(U)
vα( ˜ f)
vα(I| U) .
(Notations de 4.1.5 : vα(I|
U) = vα Γ( U, K I) où l’on a posé par définition : ¯ν I (f) =
inf
x∈K ¯νx I (f)).
Avant la démonstration, donnons le
4.1.7. Corollaire. — Il existe un entier q = q(K, y), que nous appellerons
“dénominateur universel” tel que pour tout ouvert V contenant K, et
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