CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

méromorphe et bornée serait holomorphe. Nous sommes donc ramenés à montrer
2.1.3 en supposant en plus que X est non singulier au voisinage de x. L’anneau
local de X en x est alors factoriel et le germe de fonction méromorphe f considéré
a un représentant p
q
où p et q sont holomorphes au voisinage de x sans facteurs
irréductibles en commun. L’ensemble des zéros de q contient donc une hypersurface
H au voisinage de x non contenue entièrement dans l’ensemble des zéros de p. On
peut alors trouver un germe de courbe irréductible (en général singulier en x) Γ tel
que Γ soit contenu dans H et non dans les zéros de p. La normalisation de Γ nous
fournit un germe de morphisme ˜ h : (D, 0) → (X, x) tel que, identifiant OD,0 à
C{t} anneau des séries convergentes à une variable et désignant par v la valuation
naturelle sur C{t},
v(p ◦ ˜ h) = α et v(q ◦ ˜ h) = ∞ .
Nous allons montrer que modifiant ˜ h par des termes en t d’ordre assez grand on
peut trouver h : (D, 0) → (X, x) tel que :
v(p ◦ h) = α et v(q ◦ h) = β, β > α .
En effet soit (x1, . . .,xn) un système de coordonnées sur X au voisinage de x et
posons ˜ hi(t) = xi ◦ ˜ h. Alors,
p ˜h1(t) + t N , ˜h2(t), . . . , ˜ hn(t) − p ˜h1(t), . . . , ˜ hn(t) = t N (∗)
R(t) où R ∈ C{t},
q h1(t) ˜ + t N , ˜ h2(t), . . . , ˜hn(t) − q ˜h1(t), . . . , ˜ hn(t) = t N (∗∗)
S(t) où S ∈ C{t}.
Si donc N > α, on déduit de (∗) que v p h1(t) ˜ + tN , ˜h2(t), . . . , ˜ hn(t)
= α et
de (∗∗) que v q h1(t) ˜ + tN , ˜ h2(t), . . . , ˜ hn(t)
≥ N > α. On peut donc choisir
h1(t) = ˜ h1(t) + tα+1 , hi(t) = ˜hi(t), i ≥ 2.
Démonstration du théorème 2.1. — Il suffit de montrer 2.1 si J est principal.
Notons f son générateur.
i) ⇒ ii) Voir proposition 1.15.
ii) ⇒ iii) Soit ϕ : OX,x → C{t} le morphisme associé à h et soit v la
valuation naturelle sur C{t}. Il s’agit de voir que ϕ(f) ∈ I · C{t}. Or, il existe un
entier m ≥ 1 tel que I · C{t} = tm · C{t} et il suffit en fait que :
v ϕ(f) ≥ m .
Mais ¯ν I·C{t} ϕ(f) ≥ ¯νI(f) ≥ 1 d’après la définition de ¯ν et on a vu que :
1
¯ν I·C{t} ϕ(f) = ¯νt m ·C{t} ϕ(f) =
m ¯ν 1
t·C{t} ϕ(f) =
m vϕ(f) .
iii) ⇒ iv) Nous utilisons ici le lemme 2.1.3. Le morphisme π étant propre,
il s’agit en fait de montrer que pour tout x ′ ∈ π −1 (x)
f · OX ′ ,x ′ ∈ I · OX ′ ,x ′ .
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