CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Mais on sait aussi (1.7) que la fermeture intégrale de P(J) dans A[T] est
⊕J n T n .
3.2. Proposition. — Soient X un espace analytique complexe réduit et
n : X → X le morphisme de normalisation. Soit Y un sous-espace analytique
fermé rare de X, W son image réciproque par n. Soit I (resp. J ) l’idéal cohérent
de OX(resp. O X ) définissant Y (resp. W).
L’éclatement normalisé de Y est X-isomorphe au morphisme composé
où π désigne le morphisme structural.
Projan ⊕
n∈N
ProjanX ⊕n∈NJ
n π
−→ X n
−→ X
Démonstration. — Posons Z = Projan ⊕
n∈N
J n et soit p : X ′ ≃
I n → X l’éclatement de Y dans X. Par fonctorialité de la formation
du Projan, il existe q : Z → X ′ tel que q ◦ p = π ◦ n. On sait d’après 2.8
que ⊕I n est un ⊕I n -module de type fini. Après la remarque 3.1 le même
raisonnement montre que ⊕J n est un ⊕I n -module de type fini. De [1] exposé
19, on déduit que le morphisme canonique Specan ⊕J n → Specan ⊕I n est un
morphisme fini et a fortiori q. Soit N(X) l’ouvert des points normaux de X et soit
F = ∁N(X) ∪ |Y |. C’est un fermé analytique rare de X dont l’image réciproque
F ′ dans X ′ est également un fermé rare et q induit un isomorphisme analytique
de Z − (π ◦ n) −1 (F) sur X ′ − p −1 (F).
Montrons maintenant que Z est un espace normal. Pour cela, il suffit que
CZ = Specan ⊕J n le soit, i.e. , il suffit, que pour tout x de X, le germe en x de ⊕J n
soit intégralement fermé dans son anneau total de fractions. Or posant J = Jx,
A = O X,x , nous avons déjà remarqué (1.14) que ⊕J n T n (qui est canoniquement
isomorphe à ⊕J n ) a même anneau total de fractions que A[T]. L’espace X × C
étant normal et l’anneau ⊕J n T n étant la fermeture intégrale de P(J) dans A[T], il
est intégralement clos. D’après [1] exposé 21, cor. 3, q : Z → X ′ est le morphisme
de normalisation de X ′ .
3.3. Proposition. — Soit X un espace analytique complexe réduit, Y un
sous-espace analytique fermé rare dont le support contient l’ensemble des points
non normaux de X. Soit I l’idéal cohérent de OX définissant Y . L’éclatement
normalisé de Y est X-isomorphe au morphisme canonique
Projan ⊕ I
n∈N
n −→ X .
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