CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

un nombre fini d’ouverts Vα relativement compacts sur chacun desquels un des gi
engendre I · OX ′ (lemme 2.1.1). Le morphisme π π étant surjectif, la condition vi)
est satisfaite si et seulement si sur chaque Vα le quotient
|f◦π|
sup |gi◦π|
est borné. Or
si g1 est le générateur de I · OX ′ sur Vα, cette dernière fonction est bornée, si et
seulement si |f◦π|
|g1◦π| l’est. Mais en tout point y de Vα, le germe de g1 est non diviseur
de zéro dans OX ′ ,y et par conséquent f◦π
g1◦π induit un élément de Tot OX ′ ,y et X ′
étant un espace normal, on sait que le fait que cet élément soit borné équivaut au
fait que f◦π
g1◦π appartient à OX ′ ,y pour tout y de Vα, i.e. , f · O X ′ |Vα ∈ I · O X ′ |Vα .
2.2. Corollaire. — Mêmes hypothèses qu’au théorème 2.1. Soit k un
entier ≥ 1. Les conditions suivantes sont équivalentes :
i) J ⊂ I k .
ii) ¯νI(J) ≥ k.
Démonstration. — C’est immédiat puisque ¯ν I k(J) = 1
k ¯νI(J).
2.3. Corollaire. — Mêmes hypothèses qu’au théorème 2.1. Les conditions
suivantes sont équivalentes :
i) ¯νI(f) = ∞.
ii) f = 0.
Démonstration. — Il suffit de montrer que i) ⇒ ii). Or, dire que ¯νI(f) = ∞
signifie que ¯νI(f) ≥ k pour tout entier k. D’après 2.2, ceci entraîne que :
f ∈ ∩k∈NI k .
De plus, d’après 1.14, puisque une algèbre analytique locale est un anneau excellent
il existe N tel que si k ≥ N, I k = I k−N · I N . Ceci entraîne que :
f ∈ ∩k≥NI k−N = 0 .
2.4. Corollaire. — Mêmes hypothèses qu’au théorème 2.1. La topologie
de OX,x associée à la fonction d’ordre ¯νI est la topologie I-adique.
Démonstration. — D’après 2.2, la topologie de OX,x associée à la fonction
d’ordre ¯νI est la topologie associée à la filtration de OX,x par les idéaux I k . Cette
filtration est I-bonne d’après 1.14. Elle définit donc la topologie I-adique [1] §3.
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