CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

ment irréductibles X j(i) du germe (X, x) et de la surjection OX,x → OX j(i),x. On
définit l’ordre d’un idéal J de OX,x comme l’infimum des ordres de ses éléments.
Par ailleurs les composantes Dk du diviseur exceptionnel sont des variétés projectives
plongées par le faisceau très ample IOZ/(IOZ) 2 , et les variétés réduites sous
jacentes |Dk| aussi; on peut donc parler de leur degré deg|Dk|.
On peut alors définir pour g ∈ OX,x le Polygone de Newton de g par rapport
à I par
NI(g) =
deg|Dk| vk(I)
,
vk(g)
et de même le Polygone de Newton de J par rapport à I par
NI(J) =
deg|Dk| vk(I)
.
vk(J)
k
k
Il résulte du §4 du séminaire que ¯νI(g) est la valeur absolue h/ℓ de la pente du
côté le plus horizontal (ou dernier côté) du polygone de Newton NI(g).
On peut montrer (voir [R3] et [T2], [T3]) que l’application qui à g ∈ OX,x
associe la longueur
k deg|Dk|vk(g) de la projection orthogonale de NI(g) sur
l’axe vertical n’est autre que la degree function de Pierre Samuel et David Rees,
qui est définie comme la multiplicité de l’image (I + gOX,x)/gOX,x de l’idéal I
dans OX,x/gOX,x, tandis que la longueur
k deg|Dk|vk(I) de sa projection sur
l’axe horizontal est égale à la multiplicité au sens de Samuel de l’idéal primaire
I ⊂ OX,x (voir [T2] et [R-S]). On peut observer que lorsque g est dans I le
quotient des longueurs des deux projections de NI(g), ou mieux encore NI(g) luimême
à homothétie près, est une mesure du défaut de superficialité (au sens de
Samuel) de g par rapport à I. Lorsque g ∈ I est superficiel, le polygône NI(g) n’a
qu’un seul côté compact, de pente égale à −1. Cela résulte aussitôt de l’égalité des
multiplicités de I dans OX,x et OX,x/gOX,x et des inégalités vk(g) ≥ vk(I). On
peut aussi le vérifier en interprétant [Bon] dans l’éclatement normalisé de I. La
”degree function” est étendue à des filtrations noetheriennes et à des OX,x-modules
au chapitre 9 de [R11].
Un fait intéressant démontré dans [R-S] est que la relation
e((I + gOX,x)/gOX,x) =
deg|Dk|vk(g) pour tout g ∈ OX,x
détermine de manière unique les coefficients deg|Dk|.
k
Lorsque g est un élément général de l’idéal J, on a l’égalité NI(g) = NI(J).
Cela sert entre autres à montrer (voir [T2], [T3]) que la longueur de la projection
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