CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

4.1. Calcul de ¯ν dans l’éclatement normalisé.
4.1.1. — Soient X un espace analytique complexe réduit et I un OX-idéal
cohérent tel que le support de OX/I soit rare dans X.
Soient π0 : X ′ 0 → X l’éclatement de X défini par I, et π : X′ → X
l’éclatement normalisé de X défini par I, défini comme morphisme composé π :
π0
. On remarquera que, puisque
X ′ n → X ′ 0 → X où n désigne la normalisation de X ′ 0
X est réduit et suppOX/I rare dans X, l’espace X ′ 0 est réduit et donc la normalisation
a un sens.
4.1.2. — Ainsi, I · OX ′ est un idéal inversible dans l’espace normal X′ ,
et pour tout ouvert U ⊂ X on peut définir un ensemble de fonctions d’ordre sur
l’anneau Γ(U, OX) comme suit :
Considérons les composantes irréductibles (Dα) α∈A(U) de D|U = D ∩
π −1 (U) , où D est le diviseur exceptionnel de π, i.e. , le diviseur de X ′ défini
par I · OX ′.
Puisque X ′ |U = π −1 (U) est normal, pour chaque α ∈ A(U), il existe
un ouvert analytique dense Vα de Dα tel que, pour tout point x ′ ∈ Vα, X ′ et
Dred soient lisses en x ′ . On peut alors choisir un système de coordonnées locales
(u, t1, . . . , tm) pour X ′ en x ′ tel que :
i) OX ′ ,x ′ ≃ C{u, t1, . . .,tm}
ii) I · OX ′ ,x ′ = (ueα ) · C{u, t1, . . .,tm}, où eα ∈ N.
4.1.3. — Considérons maintenant f ∈ Γ(U, OX), et le sous-espace Zf de
X ′ |U défini par l’idéal f · O X ′ |U(= f ◦ π|U). Puisque D est un diviseur de X ′ |U,
et que X ′ |U étant normal, d’après le “hauptidealsatz”, si f · O X ′ |U ne s’annule
pas identiquement au voisinage d’un point x ′ ∈ X ′ |U, toutes les composantes
irréductibles de Zf sont de codimension pure 1 en ce point, nous pouvons trouver
un ouvert analytique Uα ⊂ Vα tel que, en tout point x ′ ∈ Uα nous ayons :
où :
de Zf,
ii)f : f · OX ′ ,x ′ = (umα ) · C{u, t1, . . . , tm}
mα ∈ N, si |Dα| coïncide ensemblistement avec une composante irréductible
mα = 0, si dim(Dα ∩ Zf) < dimDα,
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