CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

[d − ε, d + ε]. Le même raisonnement qu’en A.3.1 permettrait de construire g ∈
(z − f)O{z} tel que
et une relation de dépendance intégrale
avec νI(ai) ≥ i(d + ε).
z k = in(g, d + ε)
f k + a1f k−1 + · · · ak = 0
D’après A.3.2, on aurait ¯νI(f) ≥ d+ε. ¯νI(f) est donc un tropisme critique.
Montrons maintenant que Y ×C ֒→ C d △· ,Y et que Y ×C ֒→ Cδ △· ,Y
au voisinage de y. En effet, on a une relation de dépendance intégrale :
soit
On a :
f k + a1f k−1 + · · · + ak = 0 νI(ai) ≥ id
g = (z k − f k ) + a1(z k−1 − f k−1 ) + · · · ak−1(z − f) .
g ∈ (z − f)O{z} et νY (g, d) = k
inY (g, d) = z k + ina1z k−1 + · · · + inak /∈ ⊕i≥1 gr i Y W[z] .
Si par contre pour un δ > d, on avait Y × C ֒→ Cδ △· ,Y , c’est à dire
il existerait g ∈ (z − f)O{z} tel que
inY (△· , △· , δ) ֒→ ⊕i≥1 gr i Y W[z]
inY (g, δ) /∈
i≥i
gr i Y W[z]
et on aurait avec N = ⊕ gr
i≥1
i Y W[z]
z k
= inN in(g, δ)
donc comme en A.3.1, ¯νI(f) ≥ δ > d.
A.4.1.
Corollaire. — ¯νI(f) ∈ Q ∪ {∞}.
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si δ > d,