CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Démonstration. — C’est la clôture intégrale de I k .
2.8. Proposition. — Les hypothèses sont celles du théorème 2.6. ⊕ I
n∈N
n
est une OX-algèbre de présentation finie. ⊕ I
n∈N
n est un ⊕ I
n∈N
n-module de type
fini.
Nous allons d’abord montrer le lemme suivant dont nous aurons besoin dans
la démonstration et dans la suite :
2.8.1. Lemme. — Soit K un polycylindre. Il existe un entier N (dépendant
uniquement de K et de I) tel que si n ≥ N, n ∈ N, on a
K,
Γ(K, I n ) = Γ(K, I) n−N · Γ(K, I N ) .
Démonstration. — 2.5 entraîne immédiatement que pour tout polycylindre
Γ(K, I n ) = {f ∈ Γ(K, OX); ¯νIy(f) ≥ n, ∀y ∈ K} .
Soit K le OX-idéal cohérent définissant un sous-espace rare dans X et dont
l’éclatement est OX-isomorphe à l’éclatement normalisé de I dans X. Soit x
un point de K et soit f1, . . .,fs un système de générateurs de I n x . Puisque
¯νI n x (fi) ≥ 1, d’après 2.1 (voir la partie de la démonstration v) ⇒ i), il existe
pi ∈ N tel que :
Soit px = suppi
fiK pi
x ⊂ In x · Kpi x .
I n x · K px
x ⊂ I n x K px
x .
I n , K et I n étant cohérents, il existe Ux un voisinage de x tel que :
I n y
· Kpx y ⊂ In y Kpx y
pour tout y ∈ Ux .
Le polycylindre K étant compact est recouvert par un nombre fini d’ouverts.
Désignons les Ux1, . . . , Uxt et soit p = sup pxi et U =
i=1,...,t
Uxi. L’ouvert
i=1,...,t
U est un voisinage de K dans X.
autrement dit
I n y · K p y ⊂ I n y · K p y, pour tout y ∈ U,
I n |U · K p |U ⊂ I n |U · K p |U.
D’après [2] lemme 1.12 (c’est une conséquence immédiate du théorème B), on a
Γ(K, I n ) · Γ(K, K) p ⊂ Γ(K, I) n · Γ(K, K) p .
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