CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Alors l’idéal I est réellement réel.
3.8. Exemples.
a) Soient X = R 2 , I = (x 2 + y 2 ) ⊂ R{x, y}, et π : X ′ → X l’éclatement de
l’origine (0, 0) de R 2 .
′ x = x
par
d’où
alors que
Si V désigne la carte de l’éclatement π avec coordonnées x ′ et y ′ définies
y = x ′ ′ , on a
y
IΓ(X ′ , V ) = (x ′2 )
IΓ(X ′ , V ) ⊗ Γ(X ′ ,V ) Γ( X ′ , V ) = (x ′2 )
IΓ( X ′ , V ) = x ′2 (y ′ + i)(y ′ − i) ,
ce qui montre que la désingularisation π ne satisfait pas à l’hypothèse du théorème
3.7 (il est d’ailleurs immédiat de voir que I n’est pas réellement réel).
b) L’idéal I = (x 2 + y 2 , y 5 ) ⊂ R{x, y} n’est pas non plus réellement réel
(car θ(y, I) = 2 et ˜ θ(y, I) = 5) bien que contrairement à l’exemple précédent √ I
soit réel (on a en effet √ I = (x, y)).
c) En revanche, l’idéal I = (x 4 , y 4 ) ⊂ R{x, y} est réellement réel : une
désingularisation satisfaisant aux hypothèses du théorème 3.7 est fournie par
l’éclatement de l’origine ; on peut remarquer que pourtant I ne satisfait pas au
critère de la proposition II.5 de [B-R].
Démonstration du théorème 3.7. — Soit π : X ′ → X une désingularisation
de I satisfaisant aux hypothèses de 3.7 ; supposons que I soit engendré par
(g1, . . . , gp).
Il est clair qu’il suffit de montrer que si f ∈ OX,x est telle qu’il existe un
voisinage V de x et une constante C avec |f(y)| ≤ C sup |gi(y)| ∀y ∈ V , f est
1≤i≤p
entier sur I (cf. S. 1.1).
Supposons donc que |f(y)| ≤ C sup |gi(y)| ; on en déduit fOX ′ ⊂ IOX ′
1≤i≤p
par le théorème 2.1 ; on a donc
d’où
fO X ′ ∈ IOX ′ ⊗O X ′ O X ′
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