CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

De la définition de la multiplicité d’un idéal primaire, on déduit immédiatement
que, désignant par e(I2) resp.e(I1) la multiplicité de I2 (resp. I1) et d la dimension
de A
et que
Or n(1 − ε) ≤ m. Par suite :
e(I n 2 ) = n d e(I2) ≥ m d e(I1) = e(I m 1 )
e(I2)
≥ (m
e(I1) n )d .
e(I2)
e(I1) ≥ (1 − ε)d .
Ceci étant vrai pour tout ε > 0, e(I2) ≥ e(I1). On obtient l’inégalité opposée en
utilisant I1 ⊂ I2.
1.19. Remarque. — Si A est une algèbre analytique locale équidimensionnelle,
D. Rees [3] a montré que réciproquement si I1 et I2 sont
des idéaux primaires pour l’idéal maximal ayant même multiplicité et tels que
I1 ⊂ I2, alors I1 et I2 ont même clôture intégrale.
Références
[1] Bourbaki n. — Algèbre commutative. Chapitres 5 et 6, Hermann.
[2] Grothendieck a. —
de l’IHES, PUF.
Éléments de géométrie algébrique, IV, Publications
[3] Rees d. — a-transforms of local rings and a theorem on multiplicities of
ideals, Proceedings Camb. Philos., 57, 1, 8–17.
[4] Zariski o. et Samuel p. — Commutative algebra, Vol.I, Chap. V et Vol.
II Appendice 4 Van Nostrand,1960.
2. Les avatars de la clôture intégrale d’un
idéal en géométrie analytique complexe
Les anneaux qui vont nous intéresser maintenant sont les C-algèbres analytiques
locales i.e. , celles obtenues comme quotient d’un anneau de séries convergentes
C{x1, . . . , xn}. Nous nous préparons à décrire la filtration associée à la
fonction d’ordre ¯νI. Nous emploierons systématiquement le langage géométrique.
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