CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Soit maintenant, pour chaque composante irréductible |Y |i de |Y | =
suppOX/I, A(i) l’ensemble des α ∈ A (A indiciant les composantes irréductibles
du diviseur exceptionnel D ⊂ X ′ cf. 4) tels que π(Dα) = |Y |i (π(Dα) est
un sous-espace fermé de X par la propreté de π). Et pour chaque i, soit
¯νi = minα∈A(i)( eα
). Au moins au voisinage d’un compact donné de X, les A(i)
mα
sont finis, et ¯νi ∈ Q ∪ {+∞}. Pour α ∈ A(i), π(Uα) contient un ouvert analytique
dense de |Y |i et donc en particulier pour les α ∈ A(i) tels que eα
= ¯νi. mα
Ceci suffit pour montrer la
5.4. Proposition. — Étant donné un idéal cohérent I sur un espace analytique
complexe X, et f ∈ Γ(X, OX), l’ensemble des points x ∈ |Y | = suppOX/I
tels qu’il existe h0 ∈ AX,x tel que :
¯ν x v(f ◦ h0)
I (f) = = inf
v(I ◦ h0) h∈AX,x
contient un ouvert analytique partout dense de |Y |.
v(f ◦ h)
v(I ◦ h)
En particulier, si suppOX/I = {x}, |D| = |π −1 (x)| et l’on peut toujours
calculer ¯ν x I (f) en prenant pour h un disque π ◦ h′ , où h ′ est construit comme en
5.3.
5.5. Proposition. — Soient X, I et f ∈ Γ(X, OX) comme dans le
théorème 1.
Soit p : X1 → X un morphisme d’espaces analytiques complexes propre et
surjectif. Alors, posant I1 = I · OX1, f1 = f ◦ p ∈ Γ(X1, OX1), on a, pour tout
x ∈ X
¯ν x I (f) = ¯νp−1 (x)
(f1) I1
déf
= min
x1∈p−1 (x) ¯νx1 I1 (f1) .
Démonstration. — Ceci résulte immédiatement de 5.2 et du critère valuatif
de propreté.
5.6. Remarque. — La comparaison de 5.5 et du théorème 4.1.6 (§4) peut
surprendre, puisque 5.5 implique que tous les arcs analytiques h ′ : (D, 0) →
X ′ , π −1 (x) (π : X ′ → X est toujours l’éclatement normalisé de I) nous donnent
v(f ′ ◦ h ′ )
v(I ◦ h ′ )
vα(f)
≥ min
ce qui est relativement peu aisé à vérifier directement.
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eα