CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

iii) =
I = I.
Démonstration.
i) La fermeture intégrale de P(I) dans A[T] est une sous-algèbre de A[T]
contenant IT. Elle contient donc ⊕(I) n T n .
ii) La fermeture intégrale de P(I) dans A[T] est une sous-algèbre de A[T]
contenant I · T et I n T n . Elle contient donc I · I n T n+1 .
iii) Soit maintenant f entier sur I. Alors d’après 1.3. fT est entier sur P(I)
qui est une sous-algèbre de ⊕ I
n∈N
nT n et est de ce fait entière sur P(I).
1.9. Proposition. — f est entier sur I, si et seulement s’il existe un
A-module de type fini M tel que :
i) fM ⊂ I · M
ii) Si aM = 0, il existe k ≥ 0 tel que af k = 0.
Démonstration. — Supposons f entier sur I et considérons une relation de
dépendance intégrale (1.1.1) satisfaite par f. Soit I0 un idéal de type fini de A
inclus dans I tel que νI0(ai) ≥ i, i = 1, . . .,k. Alors f k ∈ I0 · (I0 + fA) k−1 et donc
(I0 + fA) k ⊂ I0 · (I0 + fA) k−1 . Ainsi, nous pouvons choisir M = (I0 + fA) k−1 .
Le A-module M est de type fini et possède la propriété i). D’autre part, si a(I0 +
fA) k−1 = 0, alors af k ∈ aI0 · (I0 + fA) k−1 = 0.
Réciproquement, soient m1, . . . , ms des générateurs de M. i) nous fournit
un système linéaire :
fmi =
bijmj, i = 1, . . . , s où bij ∈ I, i, j = 1, . . .,s
j=1,...,s
et pour tout i = 1, . . .,s, on a :
b11 − f
.
bs1
b12
· · ·
· · ·
· · ·
b1s
. mi = 0 .
bss − f
Le déterminant annule donc M. ii) nous permet d’obtenir la relation de dépendance
intégrale cherchée.
1.10. Remarque. — Si I est de type fini et contient un élément non diviseur
de 0, la condition ii) de 1.9 peut être remplacée par :
ii’) M est un A-module fidèle (aM = 0 ⇔ a = 0).
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