CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

0.1.3. Remarques. — Si µ est une fonction d’ordre, on a toujours µ(x) =
µ(−x), et si µ(x) < µ(y), µ(x + y) = µ(x).
Si A est un anneau filtré, Ad est un idéal de A pour tout d ∈ R0 et pour
tout d ∈ R+, Ad = A.
0.1.4. Remarque. — Il y a équivalence entre les notions de fonction d’ordre
et d’anneau filtré.
La fonction d’ordre étant donnée, on définit
Ad = {x ∈ A : µ(x) ≥ d}, d ∈ R0 .
Réciproquement, la filtration étant donnée, on pose :
µ(x) = {supd : x ∈ Ad} .
0.1.5. — Dans ces conditions, on pose
On vérifie que :
• d(x, x) = 0
• d(x, y) = d(y, x)
d(x, y) = e −µ(x−y) pour x, y dans A .
• d(x, y) ≤ sup(d(x, z), d(z, y))
d est donc un écart ultramétrique sur A, invariant par les translations et Ad =
{x, d(0, x) ≤ e −d }. La topologie définie par d est compatible avec la structure
d’anneau de A. C’est celle pour laquelle les Ad constituent un système fondamental
de voisinages de 0 dans A. On obtiendrait d’ailleurs la même topologie en
choisissant comme système fondamental de voisinages de 0 les Ad où d parcourt
N. A admet alors un séparé complété A qui a lui-même une structure d’anneau
topologique filtré et on sait que le morphisme canonique i : A → A est une injection
si et seulement si A est séparé. Ceci a lieu si et seulement si l’une des
conditions suivantes est satisfaite :
• µ(x) = ∞ ⇒ x = 0
•
Ad = {0}.
d∈R0
0.1.6. Définition. — Soient A un anneau et G une A-algèbre. On dit
que G est une A-algèbre graduée si l’on s’est donné une décomposition :
G =
d∈R0
5
Gd