CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

tout f ∈ Γ(V, OX), on ait
¯ν K I (f) ∈ 1
N ∪ {+∞} .
q
En particulier, ¯ν K I (f), s’il est fini, est un nombre rationnel. (On peut prendre
pour q le p.p.c.m. des vα(I|U)).
La démonstration du théorème 4.1.6 repose sur la proposition suivante.
4.1.8. Proposition. — Soient X un espace analytique normal, dénombrable
à l’infini, I un OX-idéal inversible et f ∈ Γ(X, OX). Notons D le diviseur de
Cartier défini par I et D =
Dα sa décomposition en composantes irréductibles.
α∈A
Une condition nécessaire et suffisante pour que fx ∈ Ix pour tout x ∈ X est que
pour tout α ∈ A, il existe un point xα ∈ Dα tel que fxα ∈ Ixα.
Démonstration. — La condition est évidemment nécessaire, montrons
qu’elle est suffisante. Notons ϕ ∈ Γ(X, MX) la fonction méromorphe I −1 · f.
Nous appellerons sous-espace-polaire de ϕ, le sous-espace analytique fermé Pϕ de
X associé à l’idéal cohérent Pϕ de OX défini par
Γ(U, Pϕ) = {h ∈ Γ(U, OX) : h · (ϕ|U) ∈ Γ(U, OX) .
Il est clair que Pϕ ⊂ D et que fx ∈ Ix si et seulement si x /∈ Pϕ. Le germe en
tout point x ∈ X de Pϕ est soit vide, soit de codimension 1. (Il contient une
composante irréductible de codimension 1). En effet, écrivons la décomposition
primaire de Pϕ,x dans OX,x
Pϕ,x = q1 ∩ · · · ∩ qk .
Supposons qu’aucun des √ qi ne soit de hauteur 1. Alors, pour tout idéal premier
p de hauteur 1, il existe h ∈ Pϕ,x tel que h /∈ p. Sinon Pϕ,x ⊂ p et puisque p
est de hauteur 1, il doit coïncider avec √ qi pour au moins un i = 1 · · ·k. Donc
hϕx ∈ OX,x et ϕx ∈ (OX,x)p. L’anneau OX,x étant normal, d’après le critère de
Serre, ceci entraîne que ϕx ∈ OX,x, que 1 ∈ Pϕ,x, et donc que x /∈ Pφ.
Puisque Pϕ ⊂ D et que tout α ∈ A, xα /∈ Pϕ, Pϕ = ∅ (sinon il coïnciderait
avec une composante de D) et fx ∈ Ix pour tout x ∈ X.
4.1.8.1. Démonstration du théorème (4.1.6). — Soit π : X ′ → X l’éclatement
normalisé de I dans X, comme au 4.1.1. Le morphisme π est propre, puisque
composé de deux morphismes propres, et donc tout compact K de X possède un
voisinage U tel que :
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