CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Supposons qu’il n’en soit pas ainsi en x ′ . Soit g un générateur de I ·OX ′ ,x ′. D’après
l’hypothèse 3), g est non diviseur de zéro et f
g est un élément de Tot OX ′ ,x ′ qui
n’est pas dans OX ′ ,x ′.
Il existe alors un germe de morphisme h ′ : (D, 0) → (X ′ , x ′ ) tel que, v
désignant la valuation naturelle sur C{t}, si ϕ ′ : OX ′ ,x ′ → C{t} est le morphisme
associé à h ′ , on ait v ϕ ′ (f) < v ϕ ′ (g) < ∞.
Nous obtenons la contradiction cherchée avec le morphisme h = π ◦ h ′ :
(D, 0) → (X, x).
iv) ⇒ v) Soit π : X ′ → X l’éclatement normalisé de Y . Y étant rare
dans X, π satisfait les conditions 1), 2) et 3) de iv). Or, étant donné un espace
analytique X réduit, il existe un idéal cohérent sur cet espace dont l’éclatement
est la normalisation de X. De plus, le composé de 2 éclatements est un éclatement
(non canoniquement).
v) ⇒ i) L’idéal K définissant un sous espace rare dans X, en tout point
son germe contient un élément non diviseur de zéro. Utilisant le lemme 2.1.2 et
la cohérence de K on peut supposer que U est assez petit pour que K|U soit
engendré par un nombre fini de sections globales g1, . . . , gm sur U, chaque gi étant
non diviseur de zéro. On peut supposer également que U est assez petit pour que
I|U soit engendré par ses sections globales. Alors π−1 (U) est recouvert par un
nombre fini d’ouverts Vi tels que :
g1
X|Vi ≃ Specan OX|U , . . . ,
gi
ˆgi
, . . .,
gi
gm
.
gi
(On utilise ici la convention habituelle, l’élément sous le ∧ est omis). Sur chaque
ouvert Vi, f s’exprime donc polynomialement en fonction des gk/gi, k = i. K
désignant le germe en x de K, on détermine un entier ni ≥ 1 tel que :
Posons n =
i=1,...,m
ni et soit fg α1
1
fg α1
1 · · · gαn n = fg ni 0 · g i0 αi 0 −ni 0
i0
f · g ni
i ∈ I · Kni .
· · · gαn
n . Si α1 + · · · + αn ≥ n, il existe certaine-
ment i0 tel que αi0 ≥ ni0. On peut alors écrire que :
g αj
j ∈ I · Kni0K n−ni 0 = IK n .
Ceci montre que :
j=i0
f · K n ⊂ I · K n .
K contenant un élément de OX,x non diviseur de zéro, K n est un OX,x-module
de type fini fidèle. D’après 1.10, ceci suffit à assurer que f ∈ I.
iv) ↔ vi) Soit g1, . . . , gm un système de générateurs de I formé d’éléments
non diviseurs de zéro. Le morphisme π étant propre, on peut recouvrir π −1 (x) par
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