CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Nous avons ainsi montré que pour tout ε > 0, u + ε ≥ ū − 2ε (resp. pour
tout ε > 0 et tout N, u + ε ≥ N − ε) et donc u = ū.
0.2.2. Remarque. — La suite (uk)k∈N n’est pas croissante en général. Néanmoins
si on fixe i la sous-suite (ui n)n∈N est croissante. Ceci montre que :
lim
k→∞ (uk) = sup
uk .
k∈N
0.2.3. Définition. — Soient A un anneau et I un idéal de A ne contenant
pas 1. Soient x un élément de A et J un idéal de A. On pose
¯νI(x) = lim
k→∞ νI(x k )/k
¯νI(J) = lim
k→∞ νI(J k )/k .
0.2.4. Un exemple. — Limite de rationnels, ¯νI(x) n’est pas en général un
rationnel comme le montre l’exemple suivant :
Soit A l’algèbre du monoïde additif R0, c’est-à-dire l’anneau de polynôme
à une variable X à cœfficients dans Z dont les exposants prennent leurs valeurs
dans R0. Soit I l’idéal engendré par X
où [] désigne la partie entière.
de J,
¯νI(X λ ) = λ alors que νI(X λ ) = [λ]
0.2.5. Proposition. — Si (x1, . . . , xm) est un système de générateurs
¯νI(J) = inf
1≤i≤m ¯νI(xi) .
Démonstration. — Tout d’abord, il est clair que ¯νI(J) ≤ inf ¯νI(xi). En
effet x k i ∈ Jk , k ∈ N, donc νI(J k ) ≤ νI(x k i ).
k,
Réciproquement J k étant engendré par les x a1
1
νI(J k a1
) = inf νI(x1 · · · xam m ) .
Σai=k
· · · xam
m tels que a1+· · ·+am =
Fixons un ε > 0 et soit k ′ 0 le plus petit entier tel que pour tout k > k′ 0 on
ait, pour tout 1 ≤ i ≤ m,
¯νI(xi) − ε ≤ νI(x k i )
k
8
.