CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

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Nous avons ainsi montré que pour tout ε > 0, u + ε ≥ ū − 2ε (resp. pour tout ε > 0 et tout N, u + ε ≥ N − ε) et donc u = ū. 0.2.2. Remarque. — La suite (uk)k∈N n’est pas croissante en général. Néanmoins si on fixe i la sous-suite (ui n)n∈N est croissante. Ceci montre que : lim k→∞ (uk) = sup uk . k∈N 0.2.3. Définition. — Soient A un anneau et I un idéal de A ne contenant pas 1. Soient x un élément de A et J un idéal de A. On pose ¯νI(x) = lim k→∞ νI(x k )/k ¯νI(J) = lim k→∞ νI(J k )/k . 0.2.4. Un exemple. — Limite de rationnels, ¯νI(x) n’est pas en général un rationnel comme le montre l’exemple suivant : Soit A l’algèbre du monoïde additif R0, c’est-à-dire l’anneau de polynôme à une variable X à cœfficients dans Z dont les exposants prennent leurs valeurs dans R0. Soit I l’idéal engendré par X où [] désigne la partie entière. de J, ¯νI(X λ ) = λ alors que νI(X λ ) = [λ] 0.2.5. Proposition. — Si (x1, . . . , xm) est un système de générateurs ¯νI(J) = inf 1≤i≤m ¯νI(xi) . Démonstration. — Tout d’abord, il est clair que ¯νI(J) ≤ inf ¯νI(xi). En effet x k i ∈ Jk , k ∈ N, donc νI(J k ) ≤ νI(x k i ). k, Réciproquement J k étant engendré par les x a1 1 νI(J k a1 ) = inf νI(x1 · · · xam m ) . Σai=k · · · xam m tels que a1+· · ·+am = Fixons un ε > 0 et soit k ′ 0 le plus petit entier tel que pour tout k > k′ 0 on ait, pour tout 1 ≤ i ≤ m, ¯νI(xi) − ε ≤ νI(x k i ) k 8 .
Soit k0 = mk ′ 0 et posons N = sup 1≤i≤m,a≤k ′ [a¯νI(xi) − νI(x 0 a i )]. On a : νI(x a1 1 · · · xam m ) ≥ 1≤i≤m νI(x ai i ) = ai>k ′ 0 νI(x ai i ) + ai≤k ′ 0 νI(x ai i ) . (Si a1 + · · · + am = k > k0, la 1ère sommation n’est certainement pas vide). Donc : νI(x a1 1 · · · xam m ) ≥ ai>k ′ ai¯νI(xi) − aiε 0 + ai≤k ′ ai¯νI(xi) − N 0 . Or puisque a1 + · · · + am = k, on a ai>k ′ 0 ai ≤ k. Ainsi νI(x a1 1 · · · xam m ) ≥ ai¯νI(xi) − εk − mN ≥ k( inf 1≤i≤m 1≤i≤m ¯νI(xi) − ε) − mN . Finalement νI(J k ) ≥ k inf 1≤i≤m ¯νI(xi) − ε − mN k . Faisant tendre k vers l’infini, N ne dépendant que de ε, il vient ¯νI(J) ≥ inf 1≤i≤m ¯νI(xi) − ε et ceci étant vrai pour tout ε, ¯νI(J) ≥ inf 1≤i≤m ¯νI(xi). 0.2.6. Corollaire. — ¯νI est une fonction d’ordre. Démonstration. — Soient x, y dans A et soit J l’idéal engendré par x et y. Alors ¯νI(J) = inf ¯νI(x), ¯νI(y) . Mais x + y ∈ J. Donc ¯νI(x + y) ≥ ¯νI(J). C’est i). D’autre part νI(x k · y k ) ≥ νI(x k ) + νI(y k ). Ceci donne ii). Finalement puisque νI(0) = ∞, a fortiori ¯νI(0) = ∞. De plus, puisque 1 /∈ I, νI(1) = 0. Mais 1 k = 1. Donc ¯νI(1) = 0. 0.2.7. Remarque. — Si x est un élément nilpotent de A, ¯νI(x) = ∞. On a en fait le résultat plus précis suivant : 0.2.8. Proposition. — Soient A un anneau, N son nilradical. Soient I un idéal de A ne contenant pas 1, J un idéal de A. Soient A1 = A/N, I1, J1 les images respectives de I, J. Si J est de type fini, alors ¯νI(J) = ¯νI1(J1) . Démonstration. — Soit (x1, . . .,xm) un système de générateurs de J. D’après 2.5, ¯νI(J) = inf 1≤i≤m ¯νI(xi) et ¯νI1(J1) = inf 1≤i≤m ¯νI1 (cl xi mod N). Il 9
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BIBLIOGRAPHIE [Bö1] Erwin Böger,
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(1996), A.M.S., Providence [Hu-S] C
Page 77 and 78:
6 (1956), 161-174. [R2] D. Rees, va
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