CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

est par hypothèse un idéal réel ce qui implique que tous les facteurs irréductibles
sont réels (cf. 1.2) ; il en résulte que P ∩ Xreg = ∅, car X étant normal est lisse en
codimension 1.
Soit x ′ ∈ π−1 (x) ∩ π−1 (P ∩ Xreg) ; comme X ′ est lisse, l’anneau OX ′ ,x ′ est
factoriel et l’on peut écrire : f ◦ π/g ◦ π = α/β dans le corps des fractions de
OX ′ ,x ′, avec α et β premiers entre eux. β s’annule alors sur π−1 (P ∩ Xreg) au
voisinage de x ′ , car π−1 (P ∩ Xreg) fait partie du lieu polaire de la fonction α/β
puisque π|π−1 (Xreg) est un isomorphisme. D’autre part, si P1 est une composante
irréductible analytique locale de π−1 (P) en x ′ telle que P1 ∩ π−1 (Xreg) = ∅, α ne
peut s’annuler identiquement sur P1, car P1 étant de codimension réelle 1 dans
X ′ , cela serait contradictoire avec le fait que α et β sont premiers entre eux (cf.
proposition 1.2 : α et β seraient tous deux divisibles par un générateur de l’idéal
I(P1)).
On peut alors choisir par le “curve selection lemma” (cf. [M]) un arc analytique
h ′ = (] − 1, 1[, 0) → (X ′ , x ′ ) tel que β ◦ h ′ ≡ 0 ; on a alors v(β ◦ h ′ ) = +∞
et v(α ◦ h ′ ) < +∞ ; si maintenant h ′′ est un arc analytique ayant un contact
suffisamment grand avec h ′ on aura (exactement comme dans la démonstration du
lemme S. 2.1.3) : v(α ◦ h ′′ ) < v(β ◦ h ′′ ) < +∞, soit v(f ◦ π ◦ h ′′ ) < v(g ◦ π ◦ h ′′ ),
d’où le résultat cherché en posant h = π ◦ h ′′ . C.Q.F.D.
3) ⇒ 4) : Étant donné un espace analytique réel X et un compact K ⊂ X,
il faut montrer qu’il existe un morphisme analytique réel propre π : X ′ → X
vérifiant les propriétés a), b) et c) de la proposition 3) ; le problème est local en
X, car si pour tout x ∈ K on trouve un voisinage Ux de x et un morphisme :
X ′ Ux → Ux satisfaisant aux conditions demandées, on prendra pour X ′ la somme
disjointe des X ′ Ui , où (Ui) est un recouvrement fini de K extrait du recouvrement
(Ux).
Soit donc x ∈ K : on utilise “désingularisation I” ([H], 5.10) pour trouver un
voisinage U de x et un morphisme propre et surjectif π1 : X ′′ → U avec X ′′ lisse,
et “désingularisation II” ([H], 5.11) qui permet pour chaque point x ′′ ∈ π −1
1 (x) de
trouver un voisinage V de x ′′ et un morphisme π2 : X ′ V → V propre et surjectif
tel que XV soit lisse et IOX ′ un diviseur à croisements normaux, ce qui entraîne
évidemment que ∀x ′ ∈ X ′
V , l’idéal IOX ′ ,x′ est réel. Il suffit alors de prendre
V
pour X ′ la somme disjointe des X ′ Vi correspondant à un recouvrement fini (Vi) de
π −1
1 (x).
4) ⇒ 1) : Soit π : X ′ → X un morphisme vérifiant les propriétés de la
condition 3) ; comme par hypothèse il existe un voisinage ouvert de π −1 (K) dans
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