CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

montre en particulier que le polygone de Newton jacobien d’un germe de courbe
analytique complexe plane permet de décider si elle est irréductible, en fort contraste
avec le polygone de Newton usuel.
Enfin, des résultats précis sur les relations analogues à celle qui vient
d’être citée entre les exposants des deux inégalités du gradient pour des fonctions
analytiques réelles f: (R n , 0) → (R, 0) telles que f −1 (0) = {0} se trouvent dans
[Gw].
Dans la même veine, considérons une branche plane (X, 0) ⊂ (C 2 , 0) donnée
paramétriquement par x(t) = t n , y(t) = t m + · · · avec m ≥ n et ayant pour
caractéristique de Puiseux (β0 = n, β1, . . .,βg) (les βj/n sont les exposants caractéristiques).
Dans l’algèbre C{t, t ′ } de (X ×X, {0} × {0}), l’idéal (x(t) −x(t ′ ), y(t) −y(t ′ )) qui
définit le sous espace produit fibré X ×X X s’écrit (t−t ′ )N, où N est un idéal primaire
correspondant au sous-espace des points doubles du morphisme fini (C, 0) →
(C2 , 0) paramétrisant X. On a d’ailleurs e(N) = 2δ où δ = dimCOX,x/OX,x. Si
l’on pose e0 = n, ei = pgcd(β0, . . .,βi) et m = (t, t ′ )C{t, t ′ }, on peut vérifier que
la courbe tn−t ′n
t−t ′ = 0 est assez générale pour permettre le calcul du polygone de
Newton NN(m) par la méthode expliquée plus haut, ce qui donne l’égalité
g
NN(m) = (ej−1 − ej) βj − 1
.
1
j=1
On retrouve ainsi en particulier l’égalité 2δ = 1 − β0 + g
j=1 (ej−1 − ej)βj (voir
[Mi], Remark 10.10 et [Z], 3.14) et une interprétation du plus grand exposant de
Puiseux comme exposant de ̷Lojasiewicz puisque ¯νN(m) = (βg − 1) −1 . Pour tout
ceci, voir [P-T], [T4], Chap. II, §6 et [T7].
Complément 3: Une remarque et un résultat d’Izumi
Comme l’a remarqué Izumi dans [I 1], une démonstration dans le cadre
analytique de l’existence d’un nombre réel b(I) tel que pour tout x on ait
νI(x) − νI(x) ≤ b(I)
est implicitement donnée dans le séminaire. En fait, ce résultat est dans le cadre
analytique un corollaire facile du fait prouvé dans le séminaire (lemme 4.3.2) que
pour tout entier q l’algèbre graduée P 1
q (I) = p
p∈N I q est la fermeture intégrale
dans A[T 1
q ] de l’algèbre de Rees P(I). Cette égalité implique en effet, puisque en
Géométrie analytique les anneaux sont de Nagata, que P 1
q (I) est un P(I)-module
gradué de type fini (cf. la remarque précédant 4.3.6), et donc qu’il existe un entier
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