CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

X ′ tel que fqOU ′ ∈ IpOU ′, il existe un voisinage U ′′ de π−1 (K) et une constante
C tels que : |f ◦π(x ′ )| q ≤ C sup
g∈Γ(U,I)
|g ◦π(x ′ )| p pour tout x ′ ∈ U ′′ , d’où le résultat
puisque π étant propre, π(U ′′ ) contient un voisinage de K. C.Q.F.D.
3. Applications aux exposants de ̷Lojasiewicz et compléments
Je vais d’abord montrer un théorème analogue au corollaire S. 6.4 montrant
que les exposants de ̷Lojasiewicz sont rationnels.
3.1. — Soient (X, OX) un espace analytique réel, I un OX-idéal cohérent,
f ∈ Γ(X, OX) et K un sous-ensemble compact de X ; on définit de la même
manière qu’en S. 6.1 l’exposant θK(f, I) comme la borne inférieure de l’ensemble
des θ ∈ R+ tels qu’il existe un voisinage ouvert U de K dans X et une constante
C ∈ R+ avec :
|f(x)| θ ≤ C sup
g∈Γ(U,I)
|g(x)| pour tout x ∈ U.
(Dans le cas où K = {x}, θ (x)(f, I) était noté α(f, I) dans [B-R]).
Nous poserons d’autre part ˜ θK(f, I) = θK( ˜ f, Ĩ), ˜ f et Ĩ étant des extensions
de f et I à un complexifié X de X ; on a toujours θK(f, I) ≤ ˜ θK(f, I), et ˜ θK(f, I)
est toujours un nombre rationnel (S. 6.4).
Dans le cas réel, on a le théorème suivant :
3.2. Théorème.
a) θK(f, I) ∈ Q + ∪ {+∞}.
b) Il existe un voisinage U de K dans X et une constante C ∈ R+ tels que :
|f(x)| θK(f,I) ≤ C sup
g∈Γ(U,I)
|g(x)| pour tout x ∈ U.
Je n’écrirai pas la démonstration de ce théorème : il suffit en effet pour la
partie a) de recopier la démonstration du théorème S. 4.1.6, ¯ν K I (f) étant remplacé
par 1/θK(f, I) et l’éclatement normalisé par un morphisme analytique réel π :
X ′ → X satisfaisant aux conditions du théorème 2.1.3 ; et pour la partie b) de
recopier la démonstration du théorème S. 6.3.
3.3. Remarque. — Dans [B-R], nous avions posé :
αK(f, I) = inf α ∈ R+ : ∃C > 0 avec |f(x)| α ≤ C sup |g(x)|, ∀x ∈ K
g∈Γ(K,x)
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