CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Si l’on veut un résultat n’impliquant que des idéaux indépendants des coordonnées,
on peut en utilisant le théorème de Bertini idéaliste de [T1] prouver par restriction
à une droite assez générale l’inégalité ¯ν m.j(f)(f) ≤ 1 et déduire du résultat
précédent l’égalité ¯ν m.j(f)(f) = 1.
Il faut ajouter que la définition algébrique de l’exposant de ̷Lojasiewicz
donnée dans le séminaire a été étendue au cas analytique réel, ou semi-algébrique,
par Fekak ([F1], [F2]) en utilisant une définition due à Brumfiel [Br] des relations
de dépendance semi-intégrale dans le cas réel. Cela répond au voeu exprimé par
Risler au début de son appendice.
Complément 2: L’ordre ¯ν et le polygône de Newton
Dans l’appendice au §4 du séminaire, nous donnons une seconde
démonstration de la rationalité de ¯ν qui repose sur le fait que ¯ν peut être vu
comme tropisme critique d’une certaine installation, c’est-à-dire comme pente
d’un côté d’un polygône de Newton généralisé. Dans le cas d’un idéal I primaire
pour l’idéal maximal d’une algèbre analytique réduite O de dimension pure, le
§4 de [T2] associe à tout élément f ∈ O ou à tout idéal J ⊂ O un polygone de
Newton tel que (¯νI(f)) −1 ou (¯νI(J)) −1 apparaisse parmi les opposés des pentes
de ses côtés. Ce polygone ne dépend que de la clôture intégrale de I.
Etant donnés h, ℓ ∈ R≥0, notons
ℓ le polygone de Newton élémentaire
h
(possédant au plus un côté compact) ayant pour sommets les points (0, h) et
(ℓ, 0). C’est le bord de l’enveloppe convexe de ((0, h) + R2 ≥0 ) ((ℓ, 0) + R2 ≥0 ). Le
monoïde pour l’addition de Minkowski (point par point) de tous les polygones de
Newton rencontrant les deux axes de coordonnées est engendré par les polygones
élémentaires. Si l’on autorise h et ℓ à prendre la valeur +∞, en convenant que
ℓ
∞ est constitué de deux demi-droites parallèles aux axes et se rencontrant au
point (ℓ, 0) et de même pour
∞ et le point (0, h), on engendre le semigroupe
h
de tous les polygones de Newton, avec l’élément neutre consistant en la réunion
des deux demi-axes positifs.
Soient X un espace analytique complexe réduit et équidimensionel, x ∈ X
et I un idéal primaire pour l’idéal maximal de OX,x. Considérons le diviseur exceptionnel
D de l’éclatement normalisé EI: Z → X de I dans X. Chacune des composantes
irréductibles Dk du diviseur compact D détermine une fonction d’ordre
vk sur OX,x; l’ordre de f ∈ OX,x est l’ordre d’annulation de f ◦ EI le long de Dk.
Puisque l’éclatement normalisé se factorise à travers la normalisation n: X → X
qui sépare les composantes analytiques de X en x, cette fonction d’ordre est en
fait composée d’une valuation divisorielle sur l’une des composantes analytique-
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