CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

θK(f, I) ≤ q 1
=
p ¯ν K I (f).
Mais, si nous supposons l’inégalité stricte, il existe q′
p ′ < q
p , un voisinage U ′ de K
dans X et une constante D ∈ R+ tels que :
|f(x)| q′
≤ D · sup
g∈Γ(U ′ ,I)
|g(x)| p′
pour tout x ∈ U ′ ,
et le théorème de majoration, avec l’argument précédent, nous donne :
donc :
f q′
· OX,x ∈ Ip′ · OX,x pour tout x ∈ U ′ ,
¯ν K I (f) ≥ p′
,
q ′
(après (2.1)) et la contradiction cherchée. Ceci démontre 1) et 2) de 6.3, avec
U = U0.
6.5. — Comme les morphismes propres conservent les inégalités du type
considéré ici, au prix éventuellement d’une modification des constantes, on peut
très bien utiliser 6.3 pour démontrer 5.5 (§5) sans utiliser le critère valuatif de
propreté.
7. Théorème récapitulatif
7.1. Notations. — Soient X un espace analytique complexe réduit, I
un OX-idéal cohérent tel que |Y | = sup OX/I soit rare dans X, et K un sousensemble
compact de X. Soient π : X ′ → X l’éclatement normalisé de I, D le
diviseur exceptionnel, sous-espace de X ′ défini par l’idéal inversible I · OX ′. Soit
A(K) l’ensemble fini tel que les composantes irréductibles Dα de D, avec α ∈ A(K)
soient exactement celles qui rencontrent π−1 (U) pour tout voisinage ouvert U de
K dans X. Soit enfin eα la multiplicité de I en un point x ′ ∈ Vα, où Vα ⊂ Dα
est un ouvert analytique dense dans Dα en chaque point duquel X ′ et Dα,red sont
non singuliers, et I · OX ′ ,x ′ = ueα · OX ′ ,x ′, Dα,red étant défini par (u) · OX ′ ,x ′.
p
7.2. Théorème. — Étant donnés un nombre rationnel q > 0 et une fonction
f ∈ Γ(X, OX), les conditions suivantes sont équivalentes :
1) f q · OX,x ∈ I p · OX,x ∀x ∈ K.
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