CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

f ∈ O tel que ¯νI(f) = 0, l’idéal J = (z − f) ⊂ OZ,y ∼ = O{z} définit un sousespace
fermé (X, y) de (Z, y), et quitte à élever f à une puissance assez grande,
nous pouvons supposer que f ∈ I, d’où (Y, y) ⊂ (X ∩ W, y). Nous pouvons donc
considérer l’installation △· (f) = △· = (X, Z, W, pr1) où pr1 est la projection
W ×C → W, et le germe en y des cônes normaux anisotropes Cd △· ,Y le long de Y .
A 3. — Nous sommes maintenant en position pour démontrer 4.3.3,c’està-dire
l’équivalence, pour un d ∈]0, +∞] des assertions :
1) ¯νI(f) ≥ d.
2) Il existe une relation de dépendance intégrale
A.3.1.
f ℓ + a1f ℓ−1 + · · · + aℓ = 0 avec νI(ai) ≥ d · i·
1) ⇒ 2). Le point crucial est que par définition de ¯ν, pour tout ε > 0
(resp. pour tout A si d = +∞) il existe un k0 tel que si k ≥ k0, νI(fk )
k > d − ε
> A) ce qui signifie que dans notre installation △· = △· (f), puisque
zk − fk = (z − f)(zk−1 + zk−2f + · · · + fk−1 ) ∈ J idéal définissant X dans Z,
par définition des cônes normaux anisotropes le long de Y , (en écrivant z pour
inY (z), △· , d − ε) nous avons
(resp. νI(fk )
k
z k ∈ inY (△· , △· , d − ε) ⊂ grI OW,x[z]
inY (△· , △· , d−ε) est l’idéal définissant C d−ε
△· ,Y dans CX,Y ×C = CX,Y ×[CZ,W ×
W
Y ]. Ainsi, il doit exister g ∈ (z − f)OW,x{z} = J tel que
inN inY (g, △· , d) = z k
(resp. avec d = +∞)
où N est l’idéal de gr I O[z] engendré par ∞
⊕
écrire un tel élément g sous la forme :
i=1
g = (b0 + b1z + · · · + bk−1z k−1 + · · ·)(z − f)
gr i I O (où OW,x = O). Nous pouvons
= −b0f + (b0 − b1f)z + · · · + (bk−1 − bkf)z k + · · ·
et le fait que inN inY (g, △· , d) = zk impose que :
⎧
⎪⎨
bk−1 − bk · f = 1 modI
νI(bi−1 − bi · f) ≥ (k − i)d i = 1, . . .,k − 1
⎪⎩
νI(b0 · f) ≥ k · d
La première relation implique que bk−1 est inversible dans O, car f ∈ I. Nous
pouvons donc remplacer g par b −1
k−1 · g, et donc supposer bk−1 = 1.
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