CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

En effet d’une part ii’) entraîne ii). D’autre part, si f est entier sur I, on peut
choisir M = (I + fA) k−1 , qui est un A-module fidèle puisqu’il contient l’élément
non diviseur de 0 de I.
1.11. Corollaire. — Soient I et J des idéaux de A. Alors :
I · J ⊂ I · J .
Démonstration. — Il suffit de montrer que si f ∈ I et g ∈ J alors fg ∈
I · J. Comme dans le début de la démonstration de 1.9, choisissons pour modules
vérifiant les conditions i) et ii) de 1.9 relativement à f et g des idéaux M et N de
type fini de A. Et, soit R = MN. R est un idéal de type fini de A. De plus :
i) fgR = fgMN = fM · gN ⊂ IJMN = IJR
ii) Si aR = 0, désignant par m1, . . . , ms un système de générateurs de M
on obtient que amiN = 0, i = 1, . . .,s. Il existe donc ki, i = 1, . . . , s, tels que
amig ki = 0 et si k = supki, ag k M = 0. Il existe alors ℓ, tel que ag k f ℓ = 0 et
a(fg) sup k,ℓ = 0.
1.12. Lemme. — Soient A un anneau normal (*) et f un élément non
diviseur de zéro dans A ; alors fA est un idéal intégralement clos.
Démonstration. — Soit g entier sur fA. Une relation (1.1.1) s’écrit :
g k + b1fg k−1 + · · · + bkf k = 0 .
L’élément g/f de TotA est donc entier sur A. Ainsi, il appartient en fait à A et g
appartient à fA.
1.13. Lemme. — Soit A un anneau nœthérien. Pour un idéal I de A, les
conditions suivantes sont équivalentes :
i) ⊕ I
n∈N
nT n [resp. ⊕ (I)
n∈N
nT n ] est un ⊕ I
n∈N
nT n-module de type fini.
ii) Il existe un entier N tel que si n ≥ N on ait l’égalité I · I n = I n+1
[resp. I · (I) n = (I) n+1 ].
Démonstration. — i) ⇒ ii). Soit E1, . . . , Es un système de générateurs de
⊕I n T n . On peut supposer les Ei homogènes. Posons ni = deg Ei, i = 1, . . .,s ; et
(*) un anneau est dit normal s’il est réduit et intégralement clos dans son anneau
total de fractions.
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