CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

0.1.10. — De même si J est un idéal de A, on pose :
On a évidemment
νI(J) = {sup n : n ∈ N, J ⊂ I n } .
νI(J) = inf
x∈J νI(x)
et si (x1, . . .,xn) est un système de générateurs de J
νI(J) = inf
i=1···n νI(xi) .
0.2. Une autre fonction d’ordre ¯ν. Quelques propriétés générales.
Revenons à l’exemple 0.1.9. A étant un anneau et I un idéal de A, gr I A a
en général des éléments nilpotents. Ceci vient du fait qu’on peut très bien avoir
νI(x k ) > kνI(x) avec k entier positif. Par exemple si A = C{x, y}/x 2 − y 3 et si
I = (x, y), on a
et
gr I A = C[X, Y ]/X 2
νI(x 2 ) = 3 > 2νI(x) = 2 .
0.2.1. Lemme. — Soient A un anneau, I un idéal de A ne contenant pas
1. Soit J un idéal de A. La suite
est convergente dans R0.
uk = νI(J k )
, k ∈ N
k
Démonstration. — Soit ū(resp.u) la limite supérieure (resp. inférieure) de
la suite uk. Il s’agit de montrer que u = ū. Si u = ∞ ou ū = 0, c’est clair. Nous
supposerons donc u fini et ū > 0. Par définition,
∗ ∀ε > 0, ∀i ∈ N, ∃j ≥ i : uj ≤ u + ε
∗∗ ∀ε > 0, ∀i ∈ N, ∃j ≥ i : uj ≥ ū − ε (si ū < ∞)
∗ ∗ ∗ ∀N ∈ N, ∀i ∈ N, ∃j ≥ i : uj ≥ N (si ū = ∞) .
Fixons un ε > 0 (et si ū = ∞ un N) et choisissons un indice i assez
grand pour que 1 ε ε
i < ū−ε (resp. N ). D’après ** (resp. ***) il existe j ≥ i tel que
uj > ū − ε(resp.N) et d’après *, il existe k ≥ ji tel que uk < u + ε.
Divisons k par j, k = jℓ + q où q < j. On a alors
u + ε > νI(J jℓ+q )
jℓ + q ≥ ℓνI(J j )
ℓj + q = νI(J j )
(1 −
j
q
1
) ≥ (ū − ε)(1 − ) ≥ ū − 2ε
k i
1 resp.N(1 − i ) ≥ N − ε .
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