CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Démonstration. — Soit C le conducteur de OX dans O X . Y contenant tous
les points non normaux de X, √ I est contenu dans √ C. Localement sur X, il existe
donc un entier k tel que I k ⊂ C. Soit, comme en 3.2, J l’idéal cohérent de O X
définissant l’image réciproque W de Y dans X. Localement sur X, d’après 2.8,
il existe un entier N tel que si n ≥ N, J n = J n−N J N . Si donc n ≥ N + k
J n ⊂ C · J n−N−k · J N ⊂ OX ∩ J n = I n d’après 3.1.
Or (3.2), Projan ⊕J n est isomorphe à l’éclatement normalisé de Y et on sait
que pour tout entier d, Projan ⊕ J
n∈N
n (resp.Projan ⊕ I
n∈N
n ) est canoniquement
isomorphe à Projan ⊕ J
n∈N
nd (resp. Projan ⊕ I
n∈N
nd ). De plus, le terme de degré 0
dans les sommes directes est inessentiel.
On prendra garde que Specan ⊕ I
n∈N
n peut ne pas être un espace normal
comme le montre l’exemple suivant : soit X le cusp. Son anneau local est C{t2 , t3 }.
Soit I l’idéal maximal. On vérifie que In = {Σaiti ∈ C{t}, ai = 0, i < 2n} si n ≥ 1.
In le morphisme gradué qui envoie U de degré 1 sur
Soit ϕ : C{t2 , t3 }[U, V ] → ⊕
n∈N
t2 ∈ I et V de degré 1 sur t3 . Le morphisme ϕ est surjectif. En effet, on remarque
que In = In . Il suffit donc que la composante homogène de degré 1 de ϕ soit
surjective. Or t2 est l’image de U, t3 celle de V , t2n est l’image de t2(n−1) U, t2n+1 est l’image de t2(n−1) V . D’autre part kerϕ = (t3U − t2V ) et ⊕In n’est donc pas
normal puisque t = V
U est un élément de son corps des fractions entier et ne lui
appartenant pas.
3.4. Proposition. — Les notations et hypothèses sont celles de 3.3. Pour
que l’éclatement X ′ de Y soit un espace analytique normal, il faut et il suffit que
localement sur X, il existe un entier N tel que l’on ait I n = I n pour tout n ≥ N.
Démonstration. — Supposons X ′ normal. D’après 2.8, pour tout x ∈ X, il
existe un voisinage U de x dans X et un entier N tel que :
3.4.1. — I n+N |U = I n |U · I N |U, n ∈ N.
D’autre part, l’éclatement de I N étant canoniquement isomorphe à celui
de I est également un espace analytique normal et d’après 2.1 iv) et v) quitte à
restreindre U, on détermine un entier k tel que :
3.4.2. — I N |U · I Nk |U = I N(k+1) |U.
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