CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

De plus, Γ(K, K) p est un module fidèle. En effet si a ∈ Γ(K, K) est tel que
aΓ(K, K) = 0, ceci entraîne que pour tout x de K, on ait axKx = 0. Le support
du sous espace défini par K étant rare, Kx contient certainement un élément
non diviseur de zéro de OX,x. Ainsi ax = 0 pour tout x de K et a = 0.
D’après 1.9, Γ(K, I n ) est donc contenu dans la clôture intégrale de Γ(K, I) n .
Réciproquement, il est facile de voir que si g ∈ Γ(K, OX) est entier sur Γ(K, I) n ,
alors g ∈ Γ(K, I n ), puisque la relation de dépendance intégrale dans Γ(K, OX)
g k + Σaig k−i , ai ∈ Γ(K, I) ni
induit pour tout x de K, une relation de dépendance intégrale de gx sur I n x donc
que ¯νIx(f) ≥ n. Nous avons donc montré finalement que Γ(K, I n ) est la clôture
intégrale de Γ(K, I) n dans Γ(K, OX).
Appliquant maintenant le lemme 1.7, nous obtenons que ⊕ Γ(K, I
n∈N
n )T n est la
fermeture intégrale de P Γ(K, I) dans Γ(K, OX)[T]. L’anneau Γ(K, OX) étant
excellent, ⊕ Γ(K, I
n∈N
n ) est un P Γ(K, I) -module de type fini et d’après 1.13, il
existe un entier N tel que si n ≥ N
ou encore
Γ(K, I) · Γ(K, I) n = Γ(K, I) n+1
Γ(K, I) · Γ(K, I n ) = Γ(K, I n+1 ) .
Démonstration de 2.8. — Puisque ⊕ Γ(K, I
n∈N
n ) resp. ⊕ Γ(K, I
n∈N
n )
est canoniquement isomorphe à ⊕
n∈N
précédent a montré que ⊕
n∈N
Γ(K, I n )T n resp. P(Γ(K, I)) , le lemme
Γ(K, I n ) est un ⊕
n∈N
Γ(K, I n )-module de type fini.
Ceci signifie qu’il existe un entier s et un morphisme surjectif, ⊕
n∈N
linéaire :
(∗)
⊕ Γ(K, I
n∈N
n ) s −→ ⊕ Γ(K, I
n∈N
n ) .
Ceci permet de construire un morphisme de ⊕ I
n∈N
n |K-modules
( ⊕ I
n∈N
n |K) s −→ ⊕ I
n∈N
n |K
Γ(K, I n )
dont il s’agit de voir qu’il est surjectif. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit
que pour tout x ∈ K, le morphisme
le soit.
( ⊕ I
n∈N
n x) s −→ ⊕ I
n∈N
n x
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