CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

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De plus, Γ(K, K) p est un module fidèle. En effet si a ∈ Γ(K, K) est tel que aΓ(K, K) = 0, ceci entraîne que pour tout x de K, on ait axKx = 0. Le support du sous espace défini par K étant rare, Kx contient certainement un élément non diviseur de zéro de OX,x. Ainsi ax = 0 pour tout x de K et a = 0. D’après 1.9, Γ(K, I n ) est donc contenu dans la clôture intégrale de Γ(K, I) n . Réciproquement, il est facile de voir que si g ∈ Γ(K, OX) est entier sur Γ(K, I) n , alors g ∈ Γ(K, I n ), puisque la relation de dépendance intégrale dans Γ(K, OX) g k + Σaig k−i , ai ∈ Γ(K, I) ni induit pour tout x de K, une relation de dépendance intégrale de gx sur I n x donc que ¯νIx(f) ≥ n. Nous avons donc montré finalement que Γ(K, I n ) est la clôture intégrale de Γ(K, I) n dans Γ(K, OX). Appliquant maintenant le lemme 1.7, nous obtenons que ⊕ Γ(K, I n∈N n )T n est la fermeture intégrale de P Γ(K, I) dans Γ(K, OX)[T]. L’anneau Γ(K, OX) étant excellent, ⊕ Γ(K, I n∈N n ) est un P Γ(K, I) -module de type fini et d’après 1.13, il existe un entier N tel que si n ≥ N ou encore Γ(K, I) · Γ(K, I) n = Γ(K, I) n+1 Γ(K, I) · Γ(K, I n ) = Γ(K, I n+1 ) . Démonstration de 2.8. — Puisque ⊕ Γ(K, I n∈N n ) resp. ⊕ Γ(K, I n∈N n ) est canoniquement isomorphe à ⊕ n∈N précédent a montré que ⊕ n∈N Γ(K, I n )T n resp. P(Γ(K, I)) , le lemme Γ(K, I n ) est un ⊕ n∈N Γ(K, I n )-module de type fini. Ceci signifie qu’il existe un entier s et un morphisme surjectif, ⊕ n∈N linéaire : (∗) ⊕ Γ(K, I n∈N n ) s −→ ⊕ Γ(K, I n∈N n ) . Ceci permet de construire un morphisme de ⊕ I n∈N n |K-modules ( ⊕ I n∈N n |K) s −→ ⊕ I n∈N n |K Γ(K, I n ) dont il s’agit de voir qu’il est surjectif. Pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que pour tout x ∈ K, le morphisme le soit. ( ⊕ I n∈N n x) s −→ ⊕ I n∈N n x 26
Or, tensorisons (∗) au-dessus de Γ(K, OX) par OX,x. n s Γ(K, I ) ⊗Γ(K,OX) OX,x −→ ⊕ Γ(K, In ) ⊗Γ(K,OX) OX,x n∈N ⊕ n∈N est aussi surjectif. Mais In et In étant des OX-idéaux cohérents et K étant un polycylindre, le théorème A nous dit justement que Γ(K, In ) ⊗ OX,x = I Γ(K,OX) n x et que Γ(K, In ) ⊗ OX,x = I Γ(K,OX) n x . ⊕ n∈N L’algèbre ⊕ I n∈N n est donc un ⊕ I n∈N n-module de type fini. La OX-algèbre I n étant elle même de type fini (en tant qu’algèbre), ceci entraîne à son tour que ⊕ n∈N I n est une OX-algèbre de type fini. Puisque I n est un OX-module cohérent pour chaque n, ⊕ n∈N I n est une OX-algèbre de présentation finie. Références [1] Bourbaki n. — Algèbre commutative, chapitres 3 et 4, Hermann. [2] Frisch j. — Points de platitude d’un morphisme d’espaces analytiques complexes, Inventiones 4 (1967), 118–138. 3. Clôture intégrale d’un idéal et éclatement normalisé 3.1. Remarque. — Soit A un anneau nœthérien réduit, A sa normalisation, I un idéal propre de A et soit J = I.A J n = {f ∈ A vérifiant une relation f k + k aif k−i = 0, ai ∈ A, νI(ai) ≥ ni}. Démonstration. — Il suffit de remarquer que la fermeture intégrale de P(I) dans A[T] est aussi celle de P(J) dans A[T]. En effet JT = I.AT est formé d’éléments de A[T] entiers sur P(I). D’autre part, un calcul analogue à celui de 1.7 montre que la fermeture intégrale de P(I) dans A[T] est ⊕ JnT n∈N n où Jn = {f ∈ A vérifiant une relation fk + Σaif k−i = 0, ai ∈ A, νI(ai) ≥ ni}. 27 i=1
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6 (1956), 161-174. [R2] D. Rees, va
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