CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

il existe un voisinage ouvert U ′ de π −1 (K) dans X ′ tel que f q OU ′ ∈ Ip OU ′.
4) Il existe un morphisme analytique réel π : X ′ → X dont l’image contient
K et vérifiant les propriétés a), b), c) ci-dessus et un voisinage ouvert U ′ de π −1 (K)
dans X ′ tels que f q OU ′ ∈ Ip OU ′.
Démonstration.
1) ⇒ 2) : Soit h : (] − 1, 1[, 0) → (X, K) un arc analytique réel ; on a
par hypothèse |f(x)| q ≤ C sup |g(x)|
g∈Γ(U,I)
p pour tout x ∈ U, d’où |f ◦ h(t)| q ≤
C sup |g ◦ h(t)|
g∈Γ(U,I)
p pour t voisin de 0 dans ] − 1, 1[, d’où immédiatement v (f ◦
h) q ≥ v (I ◦ h) p ; soit qv(f ◦ h) ≥ pv(I ◦ h).
2) ⇒ 3) : Soit π = X ′ → X un morphisme analytique réel propre vérifiant
les conditions énoncées dans 3) ; si l’on suppose qu’il existe x ′ ∈ π−1 (K) tel
que fqOX ′ ,x ′ /∈ IpOX ′ ,x ′, il faut montrer qu’il existe un arc analytique réel h :
(] − 1, 1[, 0) → (X, K) tel que v(f ◦ h)/v(I ◦ h) < p/q, ce qui va résulter du lemme
suivant :
2.2. Lemme (cf. le lemme S. 2.1.3 pour le cas complexe). — Soient X un
espace analytique réel normal, x un point de X, f et g deux éléments de OX,x
tels que l’idéal (g) soit réel et que f /∈ (g) ; il existe alors un arc analytique réel
h : (] − 1, 1[, 0) → (X, x) tel que v(f ◦ h) < v(g ◦ h).
Démonstration. — Xreg désignera l’ouvert formé des points y de X où
l’anneau local OX,y est régulier (dans un voisinage de x, cet ouvert coïncide avec
l’ouvert des points lisses de dimension d = dim OX,x).
Quitte à restreindre X, on peut supposer qu’il existe un morphisme de
résolution des singularités (cf. [H]) i.e. , un morphisme analytique réel π : X ′ → X
propre et surjectif tel que X ′ soit lisse et que π|π −1 (Xreg) : π −1 (Xreg) → Xreg soit
un isomorphisme.
On raisonne maintenant comme dans [B-R], Section 2, lemme 3.
La fonction “méromorphe” f/g a un lieu polaire P non vide dans X (car
f/g /∈ OX,x par hypothèse) dont le germe en x est réunion de certaines composantes
irréductibles du germe Z(g) défini par (g) (car si X désigne un complexifié
d’un voisinage de x dans X qui soit un espace normal, et ˜ f et ˜g des extensions
de f et g à X, la fonction méromorphe ˜ f/˜g a un lieu polaire de codimension 1
dans X). P est donc de codimension réelle 1 dans X au voisinage de x, car (g)
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