CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Réciproquement, supposons f · T p/q ∈ P 1/q (Ix), c’est-à-dire f ∈ I p/q
x , ou encore
f q ∈ I p x. Ecrivons une relation de dépendance intégrale :
(f q ) k + B1(f q ) k−1 + · · · + Bk = 0 avec Bi ∈ I p·i
x .
Après multiplication par T kp , on peut réécrire ceci :
(f · T p/q ) kq + B1T p (f · T p/q ) (k−1)q + · · · + BkT pk = 0
ce qui montre bien que f · T p/q est entier sur P(Ix), et achève la démonstration
de 4.3.2.
Remarque. — En fait 4.3.2 et 4.3.3 sont des énoncés équivalents. Le même
argument que celui développé en 2.8 montre que P 1/q (I) est un P(I)-module de
type fini donc une OX-algèbre de type fini, ce qui achève la démonstration de 4.3.1.
4.3.6. Corollaire. — Soient X un espace analytique complexe réduit,
et I un OX-idéal cohérent dont le support est rare dans X. Tout point x ∈ X
possède un voisinage ouvert U tel qu’il existe un entier N = N(U) tel que :
(I|U) k · (I|U) p/q = (I|U) (p/q)+k dès que
p
≥ N .
q
4.3.7. Corollaire. — Dans la situation de 4.3, pour tout entier positif
q, la OX-algèbre graduée définie par
gr 1/q
I OX = ⊕ ∞ p=0Ip/q /I p+1
q
est une OX/I-algèbre graduée de présentation finie.
Démonstration. — Tout d’abord, il résulte immédiatement du fait que
¯νIx(f · g) ≥ ¯νIx(f) + ¯νIx(g) pour tous f, g ∈ OX,x, que I · I p/q ⊂ I p+1
q et donc
que gr 1/q
I OX est en fait une OX/I-algèbre graduée. De plus, ceci nous donne un
homomorphisme surjectif de OX/I-algèbre graduées :
P 1/q (I) ⊗OX OX/I −→ gr 1/q
I OX −→ 0
ce qui entraîne que gr 1/q
I OX est une OX/I-algèbre graduée de type fini, d’après
4.3.1, et donc est de présentation finie d’après ([1] ch. I, 1.4) puisque chacune de
ses composantes homogènes est un OX/I-module cohérent, comme quotient du
OX/I-module cohérent Ip/q ⊗ OX/I.
OX
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