CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Références
[1] Lejeune M., Teissier B. — Contribution à l’étude des singularités du
point de vue du polynôme de Newton, Thèse, Paris VII, 1973.
[2] Lejeune M., Teissier B. — Transversalité, polygone de Newton et installations,
Astérisque 7.8, 1973.
[3] Zariski, Samuel. — Commutative algebra, Van Nostrand,1960.
5. ¯ν et arcs analytiques
5.0. — Les résultats de ce paragraphe ont pour but de justifier le calcul
de ¯ν, dans certains cas, par restriction à des arcs “suffisamment généraux”, et de
préciser les limites de cette méthode.
5.1. Définition. — Soit X un espace analytique complexe. On appelle
arc analytique sur X centré en un point x ∈ X un germe de morphisme h :
(D, 0) → (X, x) où D = {t ∈ C, |t| < 1}. On notera AX,x l’ensemble des arcs non
triviaux centrés en x, c’est-à-dire des arcs tels que Im(h) = {x}, ou encore tels que
le morphisme h ∗ : OX,x → OD,0 ne soit pas nul. [Un arc analytique centré dans
un sous-espace Y ⊂ X, i.e. , tel que h(0) ∈ Y , sera noté h : (D, 0) → (X, Y )]. Si
h ∈ AX,x, puisque OD,0 est un anneau de valuation discrète, on peut associer à
f ∈ Γ(X, OX) l’entier v(f ◦ h) ∈ Z+ où f ◦ h = h ∗ (f · OD,0). De même on peut
définir v(I ◦ h) pour un idéal I de OX par v(I ◦ h) = v h ∗ (I · OX,x) , v désignant
toujours la valuation naturelle de OD,0 (i.e. , l’ordre en t, si OD,0 ∼ = C{t}).
5.2. Théorème. — Soient X un espace analytique complexe, I un OXidéal
cohérent, et x ∈ X.
Pour tout f ∈ Γ(X, OX), on a :
¯ν x I (f) = inf
h∈AX,x
v(f ◦ h)
v(I ◦ h)
Démonstration. — Après 4.1.7 ou A.4.1, nous pouvons écrire : ¯ν x I
(p, q, entiers) et, après 0.2.9 et 2.1 :
f q · OX,x ∈ I p · OX,x
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(f) = p
q