CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

dans V q
k
Mais par définition de Jk, (Ip |U)O q = Jpq
V |U k
signifie bien sûr à π−1
k
|U. (La restriction à U
k · O V q
k
q
(U)). Et puisque Vk est normal et Jk inversible, on
−p
que f ∈ Jp
k ; en effet (Jk · f) q ⊂ O q ce qui,
Vk peut déduire du fait que fq ∈ J pq
k
puisque V q
−p
k est normal, implique Jk · f ⊂ O q
V , donc f ∈ Jp
k .
Ainsi, nous venons de vérifier que :
c’est-à-dire encore :
¯ν U I
p
p
(f) ≥ ⇒ f ∈ Γ(U, πk∗Jk ∩ OVk )
q
Ip/q |U ⊆ (πk∗J p
k ∩ OVk )|U .
Montrons l’inclusion inverse. Soit f ∈ Γ(U, πk∗J p
k ∩ OVk ) il vient, par définition de
l’image directe :
d’où
f ◦ πk = f · O q ∈ Jp
V |U k
k · O V q
k
f q · O q ⊂ ϕp
V |U k
k · O V q
k |U
et donc, d’après 2.1 iv), puisque V q
k est normal, que πk est surjectif, pour tout
x ∈ U, fq · OX,x ∈ Ip · OX,x, donc ¯ν x p
I (f) ≥ q et f ∈ Γ(U, Ip/q ). QED pour le
lemme.
4.2.3.2. Corollaire. — Si I est un idéal inversible d’un espace normal
X, tel que suppOX/I soit rare dans X, I p/q est un OX-idéal cohérent, pour tout
rationnel positif p
q .
En effet, πk est propre, et J p
k un idéal cohérent pour tout p. Donc d’après
le théorème de Grauert, son image directe πk∗J p est cohérente, et son intersection
dans le OVk-module cohérent πk∗O q avec OVk est encore un module cohérent, et
Vk donc un idéal cohérent de OVk .
4.2.4. Remarque. — I p/q n’est pas en général inversible, comme le montre
l’exemple suivant : soit X le cône quadratique défini dans C 3 par ξη = z 2 et soit
I l’idéal engendré par ξ. L’idéal I 1/2 est engendré par ξ et z.
2e étape de la démonstration de 4.2.2 :
4.2.5. Lemme. — Soient X un espace analytique complexe réduit, I un
OX-idéal cohérent définissant un sous-espace rare dans X. Soit π : X ′ → X
l’éclatement normalisé de I (4.1.1). On a :
I p/q = π∗(I · OX ′)p/q ∩ OX .
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k
|U ,