CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

i) D|U n’ait qu’un nombre fini de composantes irréductibles (où D est le
diviseur exceptionnel de π, défini par I · OX ′, et D|U signifie D ∩ π−1 (U)).
ii) Pour tout voisinage ouvert U ⊂ U de K, π −1 ( U) rencontre toutes les composantes
irréductibles de D|U. Si l’on préfère, toutes les composantes irréductibles
de D|U rencontrent π −1 (K).
En effet, π −1 (K) est compact, et par la finitude locale du nombre des composantes
irréductibles d’un espace analytique, possède un voisinage V tel que
D∩V n’ait qu’un nombre fini de composantes irréductibles, qui rencontrent toutes
π −1 (K). π étant propre, on peut choisir V de la forme π −1 (U) avec U ⊂ X voisinage
de K.
Supposons maintenant inf
x∈K ¯νIx(f) ≥ p
q , nombre rationnel. Nous savons
grâce à (2.2 et 2.5) que ¯νIx(f) ≥ p
q équivaut à l’existence d’un voisinage ouvert
Ux de x dans X tel que pour tout x1 ∈ Ux on ait :
f q · OX,x1 ∈ Ip · OX,x1 .
Ainsi, si nous posons U = (
Ux) ∩U, (qui est un voisinage de K dans U), nous
x∈K
avons, en tout point x ′ ∈ π −1 ( U)
et donc
et donc
Ceci nous montre que
f q · OX ′ ,x ′ ∈ Ip · OX ′ ,x ′
q · vα(f| U) ≥ p · vα(I| U)
vα(f|
min
α∈A(U)
U)
vα(I| p
≥
U) q .
vα(f|
inf
α∈A(U)
U)
vα(I| ≥ inf
U) x∈K ¯νIx(f) .
Or, supposons que cette inégalité soit stricte ; nous pouvons choisir un rationnel
p ′
q ′ et un point x0 ∈ K tels que
vα(f|
inf
α∈A(U)
U)
vα(I| p′
>
U) q ′ > ¯νIx (f) ≥ inf 0 x∈K ¯νIx(f) .
vα(f|U) p′
Mais d’après la proposition 4.1.8, inf ≥
vα(I|U) q
α∈A(U)
′ indique qu’en tout point x ∈
K, f q′
OX,x ∈ I p′ · OX,x, et donc, d’après (2.2), ¯νIx(f) ≥ p′
q ′ , d’où la contradiction
cherchée.
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