CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

A 1. — Rappelons brièvement qu’on appelle installation la donnée d’un
espace analytique complexe Z, de sous-espaces X et W de Z et d’une rétraction
r : Z → W, et que l’on note un tel objet △· = (X, Z, W, r). La catégorie des
installations est le cadre naturel de construction de polygones de Newton. Nous
nous plaçons dans le cas où r est une rétraction lisse à fibre isomorphe à Ct . Etant
donné est un sous-espace analytique fermé Y de X ∩W, pour tout d ∈ R+ ∪ {∞},
on associe à △· son cône normal anisotrope de long de Y , de tropisme d, noté
Cd △· ,Y . C’est le sous-cône de CW,Y × [CZ,W × Y ] défini par l’idéal inY (△· , △· , d)
Y W
de grY OW[Z1, . . . , Zt] construit comme suit: pour
g =
gaz a ∈ OZ,x ≃ O{z},
a∈N t
on pose νY (g, d) = sup{µ/g ∈ I(d, µ)}, où I(d, µ) est l’idéal de O{z} engendré par
les hza tels que a + νY (h)/d ≥ µ, et
inY (g, d) =
inY gaZ a .
a+νY (gA)/d=νY (g,d)
L’idéal inY (△· , △· , d) est l’idéal de gr Y OW[Z1, . . . , Zt] engendré par les éléments
inY (g, d) lorsque g parcourt l’idéal J définissant X dans Z.
On a alors le
Théorème [1], [2]. — Étant donné x ∈ Y ⊂ W ∩ X, il existe une suite
finie de nombres rationnels 0 < d1 < · · · < ds < ∞ telle que l’on ait :
1) Pour tout i, 1 ≤ i ≤ s + 1, le germe de Cd △· ,Y en x est indépendant de
d ∈]di−1, di[. Notons C△· ,Y (i) ce germe.
2) Les C△· ,Y (i) sont tous distincts.
Les di sont appelés tropismes critiques de l’installation △· le long de Y en x.
De plus, si nous considérons l’installation :
Y ], CW,Y , P1
C d △· ,Y , CW,Y × Y
[CZ,W × W
il existe ε > 0 tel que le germe en x du cône normal anisotrope le long de Y , de
tropisme 0, de cette installation s’identifie canoniquement au germe en x de C δ △· ,Y
pour δ ∈ [d − ε, d[.
A 2. — Reprenons maintenant notre algèbre analytique O, correspondant
à un germe d’espace analytique (W, x), notre idéal I définissant un sous-espace
fermé (Y, x) ⊂ (W, x), et soient Z = W × C et y = x × {0}. On considère (W, x)
comme un sous-espace de (Z, y) en identifiant (W, x) à (W × {0}, y). Etant donné
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