CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

N = supni. Soit n ≥ N et soit f ∈ In+1 . Alors :
fT n+1 s
= AiEi Ai ∈ ⊕I k T k
i=1
et on peut supposer que Ai est homogène de degré n + 1 − ni. Ceci entraîne que :
s
f ∈ I n+1−ni Ini ⊂ I.I n
en utilisant (1.8, ii)).
resp:
i=1
ii) ⇒ i): L’hypothèse permet d’écrire que :
⊕n∈NI n = ⊕n≤NI n + I N P(I),
⊕n∈N(I) n = ⊕n≤N(I) n + (I) N P(I).
L’anneau A étant nœthérien, chaque In (resp. (I) n ) est donc un A-module de
(I) nT n )
type fini et a fortiori un P(I)-module de type fini. ⊕ I
n∈N
nT n (resp. ⊕
est donc lui-même un P(I)-module de type fini.
n∈N
1.14. Proposition. — Soient A un anneau excellent réduit (*) et I un
idéal contenant un élément non diviseur de zéro dans A. Alors il existe un entier
N tel que si n ≥ N
1) I · I n = I n+1
2) I · (I) n = (I) n+1 .
Démonstration. — A étant un anneau nœthérien, les assertions 1) et 2) sont
respectivement équivalentes à 1’) ⊕ I
n∈N
nT n est un P(I)-module de type fini et 2’)
P(I) est un P(I)-module de type fini; voir (1.13). De plus, P(I) étant alors luimême
un anneau nœthérien, d’après 1.8 i), 1’) entraîne 2’). En effet, ⊕ (I)
n∈N
nT n
est un sous P(I)-module de ⊕ I
n∈N
nT n , il est donc lui-même de type fini si ce
dernier l’est. On remarque aussi que P(I) a même anneau total de fractions que
A[T]. En effet, si H ∈ A[T] et si g est l’élément de I non diviseur de zéro dans
A, gdeg H · H ∈ P(I). Par suite si F(T)
F(T)
G(T) ∈ TotA[T], G(T) = gmF(T) gmG(T) ∈ Tot P(I)
si m ≥ sup(deg F, deg G). Utilisant maintenant que A est excellent, la fermeture
intégrale ⊕ I
n∈N
nT n de P(I), (qui est une A-algèbre de type fini) dans son anneau
(*) Voir [2] pour la notion d’anneau excellent. Un anneau local complet est un
anneau excellent, de même que les anneaux locaux de la géométrie analytique.
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