CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

Appendice par J.J. Risler
Les exposants de ̷Lojasiewicz dans le cas analytique réel
Dans le cas réel, l’exposant de ̷Lojasiewicz n’a pas d’interprétation
algébrique simple analogue au ¯ν ou à la notion de clôture intégrale ; je vais
cependant montrer que comme dans le cas complexe on peut le calculer à l’aide
d’arcs analytiques, ou de morphismes analytiques réels qui jouent un rôle analogue
à celui de l’éclatement normalisé ; il en résultera que dans le cas réel aussi les
exposants de ̷Lojasiewicz sont toujours rationnels.
Les références au séminaire seront précédées de la lettre S.
1. Préliminaires
1.1. Définition (cf. [R]). — Soit A une R-algèbre analytique ; on dit
qu’un idéal I ⊂ A est réel s’il satisfait à la condition suivante :
fi ∈ A(1 ≤ i ≤ p) et f 2 1 + · · · + f 2 p ∈ I ⇒ fi ∈ I(1 ≤ i ≤ p) .
On a alors la proposition suivante (cf. [R]) :
1.2. Proposition. — Soient A une R-algèbre analytique, I un idéal premier
de A tel que dim(A/I) = h, (X, x) un représentant du germe analytique
défini par A/I ; les conditions suivantes sont équivalentes :
a) I est réel.
b) I est l’idéal de tous les éléments de A nuls sur le germe de X au point x.
c) X possède un point lisse de dimension h dans tout voisinage du point x.
1.3. — Soit (X; OX,x) un germe analytique dans R n ; on a alors OX,x ∼
−→
On/I (avec On = R{x1, . . .,xn}). Notons I(X) l’idéal de On formé des séries nulles
sur X (I(X) est la racine réelle de I ([R])) ; on dit que X est normal en x si :
a) I = I(X)
b) l’anneau OX,x est intégralement clos.
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