CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

2) ¯ν K I (f) = inf
x∈K ¯νx p
I (f) ≥ q .
3) Pour tout x ∈ K, il existe des ai ∈ OX,x, tels que νIx(ai) ≥ p
q · i (où
Ix = I · OX,x) et que fk x + a1f k−1
x + · · · + ak = 0 dans OX,x (où fx = f · OX,x).
3’) Si K est un polycylindre, il existe ai ∈ Γ(K, OX), i = 1 · · ·k, tels que
ν Γ(K,I)(ai) ≥ ip
q et que fk + a1f k−1 + · · · + ak = 0 dans Γ(K, OX).
4) Pour tout arc h : (D, 0) → (X, K) (i.e. , h(0) ∈ K) on a : v(f◦h)
v(I◦h)
v désigne la valuation naturelle de OD,0 ≃ C{t}, c’est à dire l’ordre en t.
p
≥ q , où
5) Pour tout morphisme π : X ′ → X propre, dont l’image contient K, et tel
que I · OX ′ soit inversible, et que X′ soit un espace analytique normal, il existe
un voisinage ouvert U ′ de π −1 (K) dans X ′ tel que : f q · OU ′ ∈ Ip · OU ′.
6) Il existe un voisinage ouvert U de K dans X, et une constante C ∈ R+
tels que
|f(x)| q/p ≤ C · sup
g∈Γ(U,I)
|g(x)| pour tout x ∈ U .
De plus,
A) Il existe α0 ∈ A(U) tel que ¯ν K I (f) = Mα 0
eα 0
où Mα0 est la multiplicité de f
le long de Dα,red en tout point x ′ d’un ouvert analytique dense Vα0 ⊂ Uα0 ⊂ Dα0,
et donc, pour tout arc h : (D, 0) → (X, U) de la forme π ◦ h ′ , où h ′ : (D, 0) →
X ′ , π −1 (U) est tel que h ′ (0) ∈ Vα0 et que h ′∗ (U) soit de valuation 1 dans OD,0
(6.1.1), on a :
v(f ◦ h) Mα0
= = ¯ν
v(I ◦ h) eα0
K v(f ◦ h)
I (f) = inf
h∈AX,K v(I ◦ h)
et tout voisinage U de K dans X contient de tels arcs, c’est-à-dire que l’on peut
trouver de tels arcs avec h(0) ∈ U.
B) Le faisceau d’idéaux de OX défini par
Ip/q (U) = {f ∈ Γ(U, OX)/¯ν U p
I (f) ≥
q }
(où ¯ν U I = inf
x∈U ¯νx p
I ) est cohérent pour tout rationnel q , et la OX-algèbre graduée
∞
⊕
p ′ I
=0
p/qT p/q est de présentation finie pour tout entier q. Enfin, la OX-algèbre
graduée grIOX = ⊕ I
ν∈R+
ν /Iν+ coïncide localement sur X avec une algèbre du
type
⊕ +∞
p=0Ip/q /I p+1
q
et est donc de présentation finie, puisque cette dernière l’est comme quotient de
⊕ +∞
p=0 I p/q T p/q ⊗OX OX/I 1/q .
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