CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

verticale du polygone NI(J) est égale à la multiplicité mixte e(I [d−1] , J [1] ). Ce fait
a été utilisé en dimension 2 par Rees et Sharp dans [R-S].
D’autre part on peut étendre à ce cadre les résultats de la section 5.7 du
séminaire. Si X est de Cohen-Macaulay et si (g1, . . . , gd) sont des éléments de I
engendrant un idéal qui a même clôture intégrale, en suivant exactement la preuve
de 5.7.1, on prouve que si Cgen = r q=1 Γq est la décomposition en composantes
irréductibles de la courbe définie par d−1 combinaisons linéaires assez générales(*)
de (g1, . . . , gd) et si l’on note hq: (D, 0) → (X, x) les arcs analytiques paramétrant
les Γq, on a (voir [T2]) les égalités:
r ν0(I ◦ hq)
r ν0(I ◦ hq)
NI(g) =
et NI(J) =
,
ν0(g ◦ hq)
ν0(J ◦ hq)
q=1
où ν0 désigne comme plus haut l’ordre à l’origine de C, et l’on a gardé les notations
de 5.1 du séminaire.
Lorsque f: (C n , 0) → (C, 0) est un germe de fonction holomorphe à singu-
larité isolée, si l’on prend pour I l’idéal j(f) = ( ∂f
∂z1
q=1
∂f
, . . . , ) et pour J l’idéal
∂zn
maximal m de C{z1, . . .,zn}, le polygone de Newton N j(f)(m) prend le nom de
polygone de Newton jacobien . Il est démontré dans [T3] que le polygone de Newton
jacobien est un invariant d’équisingularité à la Whitney des hypersurfaces à
singularité isolée. En particulier c’est un invariant du type topologique des singularités
de courbes planes réduites. Dans le cas des branches planes, c’est même un
invariant total du type topologique, et il y a un résultat analogue pour les courbes
planes réduites (voir [GB]). Lorsque n > 2, l’invariance par déformation Whitneyéquisingulière
est le seul moyen dont on dispose pour prouver que l’exposant de
̷Lojasiewicz optimal des inégalités du gradient |grad(f(z))| ≥ C1|f(z)| θ1 (resp.
|grad(f(z))| ≥ C2|z| θ2 ) pour |z| assez petit est invariant par de telles déformations.
Des travaux récents de Evelia García Barroso, Janusz Gwo´zdziewicz,
Tadeusz Krasiński, Andrzej Lenarcik et Arkadiusz P̷loski donnent des exemples
de nombres rationnels qui ne peuvent être exposant de ̷Lojasiewicz pour la
seconde inégalité du gradient d’une singularité de courbe plane (voir [GB-P],
[GB-K-P 1], [GB-K-P 2]), ce qui implique un résultat analogue pour la première
puisque θ1 = θ2
θ2+1 d’après [T3].
Tout récemment (voir [GB-G]) une caractérisation combinatoire des polygones
de Newton jacobiens des branches planes a été obtenue. Ce dernier travail
(*) Qui sont un peu abusivement dites ”génériques” à la fin du §5. Le lecteur
est encouragé à consulter [N-R] en se souvenant qu’un idéal I est une réduction
d’un idéal J si I ⊆ J et I = J.
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