CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

2.1. Théorème. — Soient X un espace analytique complexe réduit, Y un
sous-espace analytique fermé rare de X, x un point de Y . Soit I l’idéal cohérent
de OX définissant Y . Soit J un OX-idéal cohérent. Soit I(resp. J) le germe de
I(resp. J ) en x. Soit I la clôture intégrale de I dans OX,x. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
i) J ⊂ I.
ii) ¯νI(J) ≥ 1.
iii) Soit D le disque unité du plan complexe (D = {t ∈ C, |t| < 1}). Pour
tout germe de morphisme h : (D, 0) → (X, x)
h ∗ J · OD,0 ⊂ h ∗ I · OD,0 .
iv) Pour tout morphisme π : X ′ → X tel que 1) π soit propre et surjectif, 2)
X ′ soit un espace analytique normal, 3) I · OX ′ soit un OX ′-module inversible, il
existe un ouvert U de X contenant x tel que :
J · O X ′ |π −1 (U) ⊂ I · O X ′ |π −1 (U) .
v) Il existe un OX-idéal cohérent K dont le support est rare dans X tel que
si π : X → X est l’éclatement de K, il existe un ouvert U de X contenant x tel
que :
J · O X|π −1 (U) ⊂ I · O X|π −1 (U) .
vi) Soit V un voisinage de x sur lequel J et I sont engendrés par leurs
sections globales. Pour tout système de générateurs g1, . . .,gm de Γ(V, I) et tout
élément f de Γ(V, J ), on peut trouver un voisinage V ′ de x et une constante C
tels que :
|f(y)| ≤ C sup |gi(y)|, pour tout y ∈ V
i=1,...,m
′ .
Avant de donner la démonstration de ce théorème, nous allons énoncer et
démontrer quelques lemmes que nous aurons à utiliser.
2.1.1. Lemme. — Soit A un anneau local nœthérien, I = (g1, . . . , gp) un
idéal = 0 de A qui est principal. Alors I est engendré par l’un des gi.
Démonstration. — Soit g un générateur de I. Il existe a1, . . .,ap
b1, . . . , bp dans A tels que :
et
gi = aig, i = 1, . . .,p et g =
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i=1,...,p
bigi .