CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

par un point non singulier de X ′ , où Dred est aussi non singulière, et transverse à
Dred en ce point. [D est comme d’habitude le diviseur exceptionnel de l’éclatement
normalisé X ′ → X].
G −1
I
Puisque π0 est un isomorphisme hors de π−1 (x), π0 induit un isomorphisme
(ℓ) − {σ(ℓ)} −→ ∼ Cℓ − {x}.
Soit Cℓ = r
Γq la décomposition de Cℓ en composantes irréductibles. Si
1
ℓ ∈ U, chaque Γq est réduite et irréductible, et fournit un arc hq : (D, 0) → (X, x).
Proposition. — Pour tout f ∈ OX,x, il existe un ouvert de Zariski non
vide V de P d−1 tel que si ℓ ∈ V , il existe une composante irréductible Γq de Cℓ
telle que
5.7.2. — ¯ν x v(f◦hq)
I (f) = v(I◦hq) .
Démonstration. — Il suffit d’appliquer 5.3 à la situation créée ci-dessus.
Ainsi, nous pouvons affirmer dans ce cas-ci qu’une composante irréductible
d’une courbe définie par d − 1 combinaisons linéaires ”génériques” de générateurs
de Ix, calcule ¯ν pour nous.
6. ¯ν et exposants de ̷Lojasiewicz
6.0. — Nous allons montrer ici qu’un calcul de ¯ν est en fait un calcul
d’exposant de ̷Lojasiewicz, et en déduire la rationalité de ces derniers en géométrie
analytique complexe. Ce paragraphe-ci est clairement le seul que l’on ne puisse pas
transcrire en géométrie algébrique !
6.1. Définition. — Soient X un espace analytique complexe réduit, I
un OX-idéal cohérent, f ∈ Γ(X, OX) et K un sous-ensemble compact de X.
L’exposant de ̷Lojasiewicz θK(f, I) de f par rapport à I sur K est la borne
inférieure de l’ensemble des θ ∈ R+ tels qu’il existe un voisinage ouvert U de K
dans X et une constante C ∈ R+ tels que
|f(x)| θ ≤ C · sup
g∈Γ(U,I)
|g(x)| pour tout x ∈ U.
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