CLˆOTURE INTÉGRALE DES IDÉAUX ETÉQUISINGULARITÉ

En effet, on peut choisir pour K et I, I N , et pour J , I N ; dans la
démonstration de v)→i) on avait montré que localement il existe k ∈ N tel que
J K k ⊂ IK k . Remplaçons n par Nk dans 3.4.1 ; nous obtenons :
Comparant avec 3.4.2, il vient :
I N(k+1) |U = I Nk |U · I N |U .
I N(k+1) |U = I N(k+1) |U .
Soit M = N(k + 1), il suffit pour conclure de remarquer que si s ≥ M
I s |U = I s−M |U · I M |U .
Réciproquement, on sait que pour tout entier d, l’éclatement de I est isomorphe
à Projan ⊕ n I nd et d’après 3.3 que l’éclatement normalisé de I est isomorphe à
Projan ⊕I n donc aussi à Projan ⊕I nd .
3.5. Remarque. — Les notations et hypothèses sont celles de 3.4. Si l’éclatement
de I est un espace analytique normal, pour tout x de X, il existe un entier
Nx tel que pour tout f ∈ OX,x tel que νIx(f) ≥ Nx, νIx(f) est la partie entière
de ¯νIx(f).
3.6. Avis. — Nous recherchons un contre-exemple à la proposition 3.4 avec
N = 1. (X non réduit s’abstenir).
Référence
[1] Cartan h. — Familles d’espaces complexes et fondement de la géométrie
analytique, Séminaire Henri Cartan, 13, 2,1960–1961.
4. ¯ν et éclatement normalisé
4.0. — Dans ce paragraphe nous allons montrer comment l’on peut calculer
¯ν après éclatement normalisé, et en déduire d’importants résultats de finitude,
notamment la rationalité de ¯ν, et le fait que les algèbres graduées associées
à la “filtration par le ¯ν” sont de présentation finie.
30